Uma partícula se move sob a ação de uma força central do tipo
$$
F=-\frac{k}{r^{3}}$$
.
b) Obtenha a equação da trajetória para os casos i)
; e ii)
.
b) Obtenha a equação da trajetória para os casos i)
Passo 1
Beleza, temos uma partícula se movendo sob a ação de uma força central dada por
com
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação da trajetória da partícula para dois casos diferentes: quando
e quando
. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, mais especificamente das leis do movimento em força central.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para movimentos em força central, a trajetória pode ser descrita usando coordenadas polares. A equação que relaciona a força central com a trajetória é dada por:
Aqui,
,
é a massa da partícula, e
é o momento angular.
Passo 3
Substituindo a força
na equação, temos:
Então, a equação fica:
Passo 4
Simplificando, chegamos a uma equação diferencial linear:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e depende do valor de
.
Passo 5
Agora, vamos analisar os dois casos:
i)
:
Aqui,
. Vamos chamar
, onde
é real. A solução geral da equação diferencial é então:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
ii)
:
Neste caso,
. Vamos definir
, onde
é real. A equação diferencial passa a ser:
A solução geral agora é:
Resposta
A equação da trajetória da partícula é:
i) Para
:
ii) Para
:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais da partícula.