Uma partícula se move sob a ação de uma força central do tipo
$$
F=-\frac{k}{r^{3}}$$
F=-kr^3.
b) Obtenha a equação da trajetória para os casos i) com k>0; e ii) L^2>m k.

Passo 1

Beleza, temos uma partícula se movendo sob a ação de uma força central dada por com . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação da trajetória da partícula para dois casos diferentes: quando e quando . Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, mais especificamente das leis do movimento em força central.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para movimentos em força central, a trajetória pode ser descrita usando coordenadas polares. A equação que relaciona a força central com a trajetória é dada por:
d^2udtheta^2 + u = -mL^2u^2 F(1u)
Aqui, , é a massa da partícula, e é o momento angular.

Passo 3

Substituindo a força F(1u) = -k(1u)^3 = -ku^3 na equação, temos:
d^2udtheta^2 + u = -mL^2u^2 (-ku^3) = mkL^2 u
Então, a equação fica:

Passo 4

Simplificando, chegamos a uma equação diferencial linear:
d^2udtheta^2 + (1 - mkL^2) u = 0
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e depende do valor de .

Passo 5

Agora, vamos analisar os dois casos:
i) u(theta) = A cos(omega theta) + B sin(omega theta) :
Aqui, d^2udtheta^2 - alpha^2 u = 0 . Vamos chamar u(theta) = A e^alpha theta + B e^-alpha theta , onde é real. A solução geral da equação diferencial é então:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.
ii) :
Neste caso, . Vamos definir , onde é real. A equação diferencial passa a ser:
A solução geral agora é:

Resposta

A equação da trajetória da partícula é:
i) Para u(theta) = A cos(raiz1 - mkL^2 , theta) + B sin(raiz1 - mkL^2 , theta) :
u(theta) = A e^raizmkL^2 - 1 , theta + B e^-raizmkL^2 - 1 , theta
ii) Para :
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais da partícula.

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