Uma partícula de massa m se move sobre uma superfície z = f(x, y). Sejam x = x(t) e y = y(t) as coordenadas da partícula no instante t.
Determine o vetor velocidade v e a energia cinética da partícula;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa m que se move sobre uma superfície definida por . As coordenadas da partícula são x(t) e y(t), ou seja, elas mudam com o tempo t. Precisamos determinar o vetor velocidade v dessa partícula e a energia cinética dela. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas em função do tempo e a fórmula da energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor posição da partícula. Como a partícula se move na superfície , sua posição em qualquer instante t é dada por:
Para encontrar o vetor velocidade v, precisamos derivar cada componente da posição em relação ao tempo t.

Passo 3

Vamos derivar cada componente:
  • A derivada de x(t) em relação a t é .
  • A derivada de y(t) em relação a t é .
  • Para a componente , usamos a regra da cadeia:
Assim, o vetor velocidade fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia cinética da partícula. A fórmula da energia cinética é:
Onde |v| é o módulo do vetor velocidade. Calculando o módulo:
Portanto, a energia cinética fica:

Resposta

O vetor velocidade da partícula é:
E a energia cinética da partícula é:

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