Uma partícula de massa
se move sobre uma superfície
. Sejam
e
as coordenadas da partícula no instante
.
Determine o vetor velocidade
e a energia cinética da partícula;
Determine o vetor velocidade
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa
que se move sobre uma superfície definida por
. As coordenadas da partícula são
e
, ou seja, elas mudam com o tempo
. Precisamos determinar o vetor velocidade
dessa partícula e a energia cinética dela. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas em função do tempo e a fórmula da energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor posição da partícula. Como a partícula se move na superfície
, sua posição em qualquer instante
é dada por:
Para encontrar o vetor velocidade
, precisamos derivar cada componente da posição em relação ao tempo
.
Passo 3
Vamos derivar cada componente:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - Para a componente
, usamos a regra da cadeia:
Assim, o vetor velocidade fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia cinética da partícula. A fórmula da energia cinética é:
Onde
é o módulo do vetor velocidade. Calculando o módulo:
Portanto, a energia cinética fica:
Resposta
O vetor velocidade da partícula é:
E a energia cinética da partícula é:
Exercícios relacionados
Seja
uma curva, definida por
.
Seja a reta tangente à curva
em um ponto arbitrário
. Considere o ponto
em que
intersecta o plano
. Mostre que
;
Seja
Seja
uma curva, definida por
Parametrize
pelo comprimento de arco;
Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
;
Seja
uma curva, definida por
Calcule a curvatura de
em
.