Seja alpha: [0, infinito) -> R^3 uma curva, definida por
alpha(t) = (e^t cos(t), e^t sen(t), e^t)
Calcule a curvatura de alpha em P = (0, e^(pi/2), e^(pi/2)).

Passo 1

Então, vamos lá! Você tem uma curva definida por e precisa calcular a curvatura dessa curva no ponto . Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas da curva e a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Isso significa resolver as seguintes equações:
Observando a terceira equação, vemos que , então .

Passo 3

Agora que sabemos que , vamos calcular as derivadas primeira e segunda de .
Primeira derivada ( ):
Segunda derivada ( ):

Passo 4

A fórmula da curvatura para uma curva é dada por:
Onde representa o produto vetorial e é a norma do vetor.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial no ponto :
Primeiro, calculamos e :
Agora, o produto vetorial:
Calculando o determinante, temos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, calculamos a norma do produto vetorial:

Passo 7

Em seguida, calculamos a norma de :

Passo 8

Agora, substituímos na fórmula da curvatura:
Simplificando a expressão exponencial:

Resposta

A curvatura da curva no ponto é:

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