Seja alpha: R -> R^3 uma curva, definida por alpha(t) = (t, t^2, t^3), t em R.
Seja L a reta tangente à curva alpha em um ponto arbitrário C != (0, 0, 0). Considere o ponto M(t) em que L intersecta o plano z = 0. Mostre que M(t) = (2/3 * t, 1/3 * t^2, 0), t != 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma curva no espaço tridimensional definida pela função . A missão aqui é encontrar a reta tangente a essa curva em um ponto qualquer C que não seja a origem (0, 0, 0). Depois, queremos descobrir onde essa reta tangente intersecta o plano onde z = 0. E no final, mostrar que o ponto de interseção M(t) é dado por , desde que t != 0. Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especialmente como encontrar a reta tangente a uma curva e como resolver sistemas de equações para encontrar pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a reta tangente à curva alpha(t) em um ponto C. Para isso, precisamos calcular a derivada de alpha(t), que nos dá o vetor tangente à curva nesse ponto. A derivada de alpha(t) é:
Esse vetor é a direção da reta tangente no ponto .

Passo 3

Agora que temos o ponto de tangência e o vetor direcional da reta tangente , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente L. A equação de uma reta no espaço pode ser escrita como:
Onde C é o ponto de tangência, v é o vetor direcional, e s é o parâmetro. Substituindo os valores que temos:

Passo 4

Agora, queremos encontrar o ponto M(t) onde a reta tangente L intersecta o plano z = 0. Para isso, vamos substituir z na equação da reta por 0 e resolver para o parâmetro s:
Resolvendo para s:
Agora que temos o valor de s, podemos substituir de volta nas equações de x e y para encontrar as coordenadas de M(t).

Passo 5

Substituindo nas equações de x e y:
Para x:
Para y:
E, claro, já sabemos que . Assim, o ponto de interseção M(t) é:

Resposta

Portanto, mostramos que o ponto onde a reta tangente L intersecta o plano z = 0 é para t != 0.

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