Seja uma curva, definida por .
Seja a reta tangente à curva em um ponto arbitrário . Considere o ponto em que intersecta o plano . Mostre que ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma curva no espaço tridimensional definida pela função . A missão aqui é encontrar a reta tangente a essa curva em um ponto qualquer que não seja a origem . Depois, queremos descobrir onde essa reta tangente intersecta o plano onde . E no final, mostrar que o ponto de interseção é dado por , desde que . Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especialmente como encontrar a reta tangente a uma curva e como resolver sistemas de equações para encontrar pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a reta tangente à curva em um ponto . Para isso, precisamos calcular a derivada de , que nos dá o vetor tangente à curva nesse ponto. A derivada de é:
Esse vetor é a direção da reta tangente no ponto .

Passo 3

Agora que temos o ponto de tangência e o vetor direcional da reta tangente , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente . A equação de uma reta no espaço pode ser escrita como:
Onde é o ponto de tangência, é o vetor direcional, e é o parâmetro. Substituindo os valores que temos:

Passo 4

Agora, queremos encontrar o ponto onde a reta tangente intersecta o plano . Para isso, vamos substituir na equação da reta por e resolver para o parâmetro :
Resolvendo para :
Agora que temos o valor de , podemos substituir de volta nas equações de e para encontrar as coordenadas de .

Passo 5

Substituindo nas equações de e :
Para :
Para :
E, claro, já sabemos que . Assim, o ponto de interseção é:

Resposta

Portanto, mostramos que o ponto onde a reta tangente intersecta o plano é para .

Exercícios relacionados

Seja uma curva, definida por
Parametrize pelo comprimento de arco;
Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
;
Uma partícula de massa se move sobre uma superfície . Sejam e as coordenadas da partícula no instante .
Determine o vetor velocidade e a energia cinética da partícula;
Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
;