Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse limite que a gente precisa calcular:
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, que é um tópico de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar analisar se o limite existe e, se existir, encontrar o valor dele. Isso geralmente envolve verificar diferentes caminhos pelos quais podemos nos aproximar do ponto (1,2).

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a coisa fazendo uma mudança de variável. Vamos definir:
Dessa forma, quando , isso equivale a . Nosso limite fica então:

Passo 3

Agora, vamos analisar esse limite. Uma maneira comum de verificar se o limite existe é ver se ele depende do caminho que escolhemos para nos aproximar de . Se o resultado mudar dependendo do caminho, então o limite não existe.

Passo 4

Vamos tentar o primeiro caminho: aproximar-se ao longo da linha . Isso significa que e, portanto, . Substituindo na função:
Então, pelo caminho , o limite é 0.

Passo 5

Agora, vamos tentar outro caminho: aproximar-se ao longo da linha , ou seja, . Substituindo na função:
Então, pelo caminho , o limite é .

Resposta

O limite não existe.

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Uma partícula de massa se move sobre uma superfície . Sejam e as coordenadas da partícula no instante .
Determine o vetor velocidade e a energia cinética da partícula;
Seja uma curva, definida por .
Seja a reta tangente à curva em um ponto arbitrário . Considere o ponto em que intersecta o plano . Mostre que ;
Seja uma curva, definida por
Calcule a curvatura de em .
Seja uma curva, definida por .
Esboce o traço da curva .