Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
lim (x, y) (1,2) (x-1)(y-2)(x-1)^2+(y-2)^2;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse limite que a gente precisa calcular:
lim (x, y) (1,2) (x-1)(y-2)(x-1)^2+(y-2)^2
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, que é um tópico de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar analisar se o limite existe e, se existir, encontrar o valor dele. Isso geralmente envolve verificar diferentes caminhos pelos quais podemos nos aproximar do ponto (1,2).

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a coisa fazendo uma mudança de variável. Vamos definir:
u = x - 1 e v = y - 2
Dessa forma, quando lim (u, v) (0,0) uvu^2 + v^2 , isso equivale a . Nosso limite fica então:

Passo 3

Agora, vamos analisar esse limite. Uma maneira comum de verificar se o limite existe é ver se ele depende do caminho que escolhemos para nos aproximar de . Se o resultado mudar dependendo do caminho, então o limite não existe.

Passo 4

Vamos tentar o primeiro caminho: aproximar-se ao longo da linha u cdot 0u^2 + 0^2 = 0 . Isso significa que e, portanto, . Substituindo na função:
Então, pelo caminho , o limite é 0.

Passo 5

Agora, vamos tentar outro caminho: aproximar-se ao longo da linha u cdot uu^2 + u^2 = u^22u^2 = 12 , ou seja, . Substituindo na função:
Então, pelo caminho , o limite é .

Resposta

O limite não existe.

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