Seja
uma curva, definida por
Parametrize
pelo comprimento de arco;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para parametrizar a curva pelo comprimento de arco. Isso significa que queremos reescrever a curva em termos de
, que representa a distância percorrida ao longo da curva a partir de um ponto inicial. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o comprimento de arco
de uma curva
desde
até algum tempo
é dado pela integral da norma da derivada de
:
Então, o primeiro passo é encontrar a derivada de
.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a norma de
, que é a magnitude do vetor derivada:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 5
Primeiro, expandimos os quadrados:
Somando tudo:
Passo 6
Simplificando os termos dentro da raiz:
Portanto:
Passo 7
Agora que temos a norma da derivada, podemos calcular o comprimento de arco
:
Passo 8
Para parametrizar a curva pelo comprimento de arco, precisamos expressar
em termos de
. A partir da expressão de
:
Passo 9
Agora, substituímos
em
pela expressão em termos de
:
Resposta
A parametrização da curva
pelo comprimento de arco
é dada por:
Exercícios relacionados
Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
;
Ache o vetor posição
.
Seja
uma curva, definida por
.
Seja a reta tangente à curva
em um ponto arbitrário
. Considere o ponto
em que
intersecta o plano
. Mostre que
;
Seja
Uma partícula de massa
se move sobre uma superfície
. Sejam
e
as coordenadas da partícula no instante
.
Determine o vetor velocidade e a energia cinética da partícula;
Determine o vetor velocidade