Seja uma curva, definida por
Parametrize pelo comprimento de arco;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para parametrizar a curva pelo comprimento de arco. Isso significa que queremos reescrever a curva em termos de , que representa a distância percorrida ao longo da curva a partir de um ponto inicial. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o comprimento de arco de uma curva desde até algum tempo é dado pela integral da norma da derivada de :
Então, o primeiro passo é encontrar a derivada de .

Passo 3

Calculando a derivada de :
Usando a regra do produto para derivadas, temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a norma de , que é a magnitude do vetor derivada:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 5

Primeiro, expandimos os quadrados:
Somando tudo:

Passo 6

Simplificando os termos dentro da raiz:
Portanto:

Passo 7

Agora que temos a norma da derivada, podemos calcular o comprimento de arco :

Passo 8

Para parametrizar a curva pelo comprimento de arco, precisamos expressar em termos de . A partir da expressão de :

Passo 9

Agora, substituímos em pela expressão em termos de :

Resposta

A parametrização da curva pelo comprimento de arco é dada por:

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;
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