Uma partícula de massa m tem seu movimento restrito ao plano x y e está sujeita ao potencial harmônico V(r)=k r^2 / 2, onde k>0 e r, varphi são as coordenadas polares. Além disso, a partícula está sujeita ao vínculo varphi=omega0 t. Nesta questão, faça omega=raizk / m.
(d) Encontre a solução geral da equação de movimento.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está nos pedindo. Temos uma partícula de massa m que se move no plano xy e está sujeita a um potencial harmônico V(r) = 12k r^2, onde k é uma constante positiva. Além disso, a partícula está presa a um vínculo que faz com que o ângulo varphi dependa do tempo como varphi = omega0 t. Precisamos encontrar a solução geral da equação de movimento dessa partícula. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente a segunda lei de Newton em coordenadas polares e técnicas para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de movimento da partícula no sistema de coordenadas polares. A segunda lei de Newton em coordenadas polares nos dá duas equações:
m(ddotr - r dotvarphi^2) = -dVdr
m(r ddotvarphi + 2 dotr dotvarphi) = 0
Onde r é a distância ao centro, varphi é o ângulo, e os pontos indicam derivadas em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada do potencial V(r) em relação a r:
dVdr = ddr(12k r^2) = k r
Substituindo na primeira equação de movimento:
m(ddotr - r dotvarphi^2) = -k r

Passo 4

Sabemos que varphi = omega0 t. Vamos derivar isso em relação ao tempo para encontrar dotvarphi e ddotvarphi:
dotvarphi = omega0
ddotvarphi = 0
Agora, substituímos dotvarphi e ddotvarphi na segunda equação de movimento:
m(r cdot 0 + 2 dotr omega0) = 0
2 m omega0 dotr = 0
Isso implica que dotr = 0, ou seja, a derivada de r em relação ao tempo é zero.

Passo 5

Com dotr = 0, a equação de movimento para r simplifica para:
m ddotr - m r omega0^2 = -k r
Como dotr = 0, temos ddotr = 0, então:
- m r omega0^2 = -k r
m omega0^2 = k
omega0 = raizkm = omega
Isso confirma que omega = omega0.

Resposta

A solução geral da equação de movimento é r(t) = constante e varphi(t) = omega t, onde omega = raizkm.

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