Uma partícula de massa
tem seu movimento restrito ao plano
e está sujeita ao potencial harmônico
, onde
e
são as coordenadas polares. Além disso, a partícula está sujeita ao vínculo
. Nesta questão, faça
.
(d) Encontre a solução geral da equação de movimento.
(d) Encontre a solução geral da equação de movimento.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está nos pedindo. Temos uma partícula de massa
que se move no plano
e está sujeita a um potencial harmônico
, onde
é uma constante positiva. Além disso, a partícula está presa a um vínculo que faz com que o ângulo
dependa do tempo como
. Precisamos encontrar a solução geral da equação de movimento dessa partícula. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente a segunda lei de Newton em coordenadas polares e técnicas para resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de movimento da partícula no sistema de coordenadas polares. A segunda lei de Newton em coordenadas polares nos dá duas equações:
Onde
é a distância ao centro,
é o ângulo, e os pontos indicam derivadas em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada do potencial
em relação a
:
Substituindo na primeira equação de movimento:
Passo 4
Sabemos que
. Vamos derivar isso em relação ao tempo para encontrar
e
:
Agora, substituímos
e
na segunda equação de movimento:
Isso implica que
, ou seja, a derivada de
em relação ao tempo é zero.
Passo 5
Com
, a equação de movimento para
simplifica para:
Como
, temos
, então:
Isso confirma que
.
Resposta
A solução geral da equação de movimento é
e
, onde
.