Uma partícula de massa move-se sob a ação de uma força central com energia potencial
$$
V=\frac{1}{2} k r^{2}$$
como em um oscilador harmônico isotrópico. Considere que o momento angular da partícula em relação à origem é .
d) Determine a frequência de pequenas oscilações radiais em torno de ;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa que está se movendo sob a ação de uma força central com energia potencial , o que é basicamente um oscilador harmônico isotrópico. Além disso, sabemos que o momento angular da partícula em relação à origem é . Nosso objetivo aqui é determinar a frequência das pequenas oscilações radiais em torno de , que é a posição de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a frequência das oscilações radiais, precisamos considerar a energia efetiva da partícula. A energia total é a soma da energia cinética radial, da energia cinética angular e da energia potencial.
A energia cinética radial é dada por:
A energia cinética angular é:
E a energia potencial é:
Então, a energia total efetiva é:
Passo 3
Nosso próximo passo é encontrar o ponto de equilíbrio . Isso ocorre quando a força resultante na direção radial é zero. Podemos encontrar isso derivando a energia efetiva em relação a e igualando a zero:
Calculando a derivada:
Rearranjando para encontrar :
Portanto:
Passo 4
Agora, para encontrar a frequência das oscilações radiais pequenas, precisamos analisar a segunda derivada da energia efetiva em . Isso nos dá a constante efetiva da mola para as oscilações radiais, chamada de :
Calculando a segunda derivada:
kefetiva = 3 k + k = 4 k
Substituindo :
Usando :
Passo 5
A frequência das oscilações radiais omega = raiz kefetivam = raiz 4 km = 2 raiz km é dada por:
Resposta
A frequência das pequenas oscilações radiais em torno de é .