Uma partícula de massa m move-se sob a ação de uma força central com energia potencial
$$
V=\frac{1}{2} k r^{2}$$
como em um oscilador harmônico isotrópico. Considere que o momento angular da partícula em relação à origem é V=12 k r^2.
d) Determine a frequência de pequenas oscilações radiais em torno de L;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa que está se movendo sob a ação de uma força central com energia potencial , o que é basicamente um oscilador harmônico isotrópico. Além disso, sabemos que o momento angular da partícula em relação à origem é . Nosso objetivo aqui é determinar a frequência das pequenas oscilações radiais em torno de , que é a posição de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a frequência das oscilações radiais, precisamos considerar a energia efetiva da partícula. A energia total Tr = 12 m dotr^2 é a soma da energia cinética radial, da energia cinética angular e da energia potencial.
A energia cinética radial é dada por:
Ttheta = L^22 m r^2
A energia cinética angular é:
V(r) = 12 k r^2
E a energia potencial é:
Eefetiva = Tr + Ttheta + V(r) = 12 m dotr^2 + L^22 m r^2 + 12 k r^2
Então, a energia total efetiva é:

Passo 3

Nosso próximo passo é encontrar o ponto de equilíbrio dVefetivadr = 0 . Isso ocorre quando a força resultante na direção radial é zero. Podemos encontrar isso derivando a energia efetiva em relação a - L^2m r^3 + k r = 0 e igualando a zero:
k r0 = L^2m r0^3 Rightarrow k r0^4 = L^2m
Calculando a derivada:
r0 = ( L^2m k )^14
Rearranjando para encontrar :
Portanto:

Passo 4

Agora, para encontrar a frequência das oscilações radiais pequenas, precisamos analisar a segunda derivada da energia efetiva em kefetiva = d^2 Vefetivadr^2 |r = r0 . Isso nos dá a constante efetiva da mola para as oscilações radiais, chamada de d^2 Vefetivadr^2 = 3 L^2m r^4 + k :
kefetiva = 3 L^2m r0^4 + k
Calculando a segunda derivada:
kefetiva = 3 k + k = 4 k
Substituindo :
Usando :

Passo 5

A frequência das oscilações radiais omega = raiz kefetivam = raiz 4 km = 2 raiz km é dada por:

Resposta

A frequência das pequenas oscilações radiais em torno de é .

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