O potencial de Yukawa aparece na teoria de forças nucleares e é dado por
$$
V®=\frac{k e^{-\alpha r}}{r}$$
V(r)=k e^-alpha rr.
a) Calcule a força associada a esse potencial;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você recebeu um exercício sobre o potencial de Yukawa, que é usado para descrever forças nucleares. A parada é que você precisa calcular a força associada a esse potencial. Para isso, a gente vai precisar usar o conceito de derivada, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para encontrar taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força pode ser obtida a partir do potencial usando uma relação básica da física: a força é igual ao negativo da derivada do potencial em relação à distância. Então, matematicamente, isso fica assim:
F(r) = -dVdr

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula no potencial de Yukawa que foi dado:
V(r) = k e^-alpha rr
Precisamos calcular a derivada de em relação a . Para isso, vamos usar a regra do quociente e a regra do produto do cálculo diferencial.

Passo 4

Vamos calcular a derivada passo a passo. Primeiro, identifique as partes do quociente: dudr = -k alpha e^-alpha r e dvdr = 1 . A derivada de dVdr = v cdot dudr - u cdot dvdrv^2 = r (-k alpha e^-alpha r) - k e^-alpha r (1)r^2 em relação a é:
E a derivada de em relação a é:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
dVdr = -k alpha r e^-alpha r - k e^-alpha rr^2 = -k e^-alpha r (alpha r + 1)r^2
Agora, lembrando que a força é o negativo dessa derivada:
F(r) = -dVdr = k e^-alpha r (alpha r + 1)r^2

Resposta

A força associada ao potencial de Yukawa é
F(r) = k e^-alpha r (alpha r + 1)r^2

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