Um satélite de massa m=10^3 kg está em órbita em torno da Terra. O raio da Terra é R=6,37 times 10^6 m e a massa da Terra é M. Considere que g=G M / R^2=9,81 m / s^2. O satélite encontra-se em uma órbita elíptica. Ele passa a 200 km da superfície da Terra no seu ponto de maior aproximação e passa a 7200 km da superfície da Terra no seu ponto mais afastado. Com base nessas informações, responda as questões a seguir.
c) Calcule o período tau do satélite em termos de tauL E O

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um satélite de massa que está orbitando a Terra. A Terra tem um raio de e uma massa que usamos para calcular a aceleração da gravidade . O satélite está em uma órbita elíptica, ou seja, sua trajetória ao redor da Terra não é circular. Ele chega a 200 km acima da superfície no ponto mais próximo e vai até 7200 km no ponto mais distante. Precisamos calcular o período dessa órbita em termos do período de uma órbita baixa . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Kepler e a relação entre períodos orbitais e os semi-eixos maiores das órbitas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o período orbital. O período tau = tauLEO ( aaLEO )^32 é o tempo que o satélite leva para dar uma volta completa ao redor da Terra. Na Lei de Kepler, sabemos que o período está relacionado ao semi-eixo maior da órbita através da fórmula:
Aqui, é o semi-eixo maior da órbita baixa, que consideramos como sendo a órbita correspondente ao período .

Passo 3

Vamos calcular o semi-eixo maior rp = R + 200 times 10^3 , m = 6,37 times 10^6 + 2 times 10^5 = 6,57 times 10^6 , m da órbita elíptica do satélite. Sabemos que o ponto mais próximo (periapsis) está a 200 km da superfície, e o mais distante (apoapsis) a 7200 km.
Primeiro, convertemos essas distâncias para metros e somamos ao raio da Terra:
ra = R + 7200 times 10^3 , m = 6,37 times 10^6 + 7,2 times 10^6 = 13,57 times 10^6 , m
a = rp + ra2 = 6,57 times 10^6 + 13,57 times 10^62 = 10,07 times 10^6 , m
Agora, o semi-eixo maior é a média desses dois valores:

Passo 4

Agora, para relacionar o período aLEO = rp = 6,57 times 10^6 , m com tautauLEO = ( aaLEO )^32 , precisamos considerar que tautauLEO = ( 10,07 times 10^66,57 times 10^6 )^32 é o semi-eixo maior da órbita baixa. Se assumirmos que corresponde a uma órbita circular a 200 km acima da Terra, então:
Usando a relação de Kepler:
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 5

Vamos calcular a razão dentro dos parênteses:
10,07 times 10^66,57 times 10^6 approx 1,531
Agora, elevamos esse valor à potência de (1,531)^32 = raiz1,531^3 approx raiz3,58 approx 1,89 :

Passo 6

Finalmente, temos que:
tau = tauLEO times 1,89

Resposta

O período do satélite é aproximadamente .

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