Um satélite de massa
está em órbita em torno da Terra. O raio da Terra é
e a massa da Terra é
. Considere que
. O satélite encontra-se em uma órbita elíptica. Ele passa a 200 km da superfície da Terra no seu ponto de maior aproximação e passa a 7200 km da superfície da Terra no seu ponto mais afastado. Com base nessas informações, responda as questões a seguir.
c) Calcule o período
do satélite em termos de
c) Calcule o período
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um satélite de massa
que está orbitando a Terra. A Terra tem um raio de
e uma massa que usamos para calcular a aceleração da gravidade
. O satélite está em uma órbita elíptica, ou seja, sua trajetória ao redor da Terra não é circular. Ele chega a 200 km acima da superfície no ponto mais próximo e vai até 7200 km no ponto mais distante. Precisamos calcular o período
dessa órbita em termos do período de uma órbita baixa
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Kepler e a relação entre períodos orbitais e os semi-eixos maiores das órbitas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o período orbital. O período
é o tempo que o satélite leva para dar uma volta completa ao redor da Terra. Na Lei de Kepler, sabemos que o período está relacionado ao semi-eixo maior
da órbita através da fórmula:
Aqui,
é o semi-eixo maior da órbita baixa, que consideramos como sendo a órbita correspondente ao período
.
Passo 3
Vamos calcular o semi-eixo maior
da órbita elíptica do satélite. Sabemos que o ponto mais próximo (periapsis) está a 200 km da superfície, e o mais distante (apoapsis) a 7200 km.
Primeiro, convertemos essas distâncias para metros e somamos ao raio da Terra:
Agora, o semi-eixo maior
é a média desses dois valores:
Passo 4
Agora, para relacionar o período
com
, precisamos considerar que
é o semi-eixo maior da órbita baixa. Se assumirmos que
corresponde a uma órbita circular a 200 km acima da Terra, então:
Usando a relação de Kepler:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Vamos calcular a razão dentro dos parênteses:
Agora, elevamos esse valor à potência de
:
Passo 6
Finalmente, temos que:
Resposta
O período
do satélite é aproximadamente
.