Uma partícula se move em uma órbita espiral logarítmica, cujo raio é dado por
r(theta)=k e^alpha theta
com k e alpha constantes.
d) Calcule a energia total da partícula nesta órbita.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a energia total de uma partícula que se move em uma órbita espiral logarítmica. O enunciado nos dá a fórmula do raio dessa órbita: , onde e são constantes. Para encontrar a energia total da partícula, precisamos calcular tanto a energia cinética quanto a energia potencial e depois somá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é energia total. A energia total E = T + U de uma partícula é a soma da energia cinética e da energia potencial :
Então, nosso objetivo será calcular e separadamente.

Passo 3

Vamos começar calculando a energia cinética T = 12 m v^2 . A energia cinética de uma partícula é dada por:
onde é a massa da partícula e é a velocidade dela. Precisamos descobrir a expressão para .

Passo 4

A velocidade v = raiz(drdt)^2 + (r dthetadt)^2 da partícula em coordenadas polares pode ser expressa em termos de e da seguinte forma:
Para simplificar, vamos expressar e em termos de .

Passo 5

Sabemos que drdtheta = k alpha e^alpha theta = alpha r . Vamos derivar drdt = drdtheta cdot dthetadt = alpha r cdot dthetadt em relação a :
Usando a regra da cadeia, temos:

Passo 6

Agora, substituímos v = raiz(alpha r dthetadt)^2 + (r dthetadt)^2 = r dthetadt raizalpha^2 + 1 na expressão da velocidade:
Portanto, a velocidade é proporcional a e .

Passo 7

Agora, vamos substituir T = 12 m ( r dthetadt raizalpha^2 + 1 )^2 = 12 m r^2 ( dthetadt )^2 (alpha^2 + 1) na fórmula da energia cinética:

Passo 8

Em seguida, vamos calcular a energia potencial U = -G M mr . Se considerarmos que a partícula está sujeita a uma força central, a energia potencial geralmente tem a forma:
U = -Cr
onde é a constante gravitacional, é a massa de um corpo central, e é a massa da partícula. No entanto, como não temos mais informações sobre a força central, vamos assumir que a energia potencial é proporcional a :
onde é uma constante.

Passo 9

Agora, temos as expressões para E = T + U = 12 m r^2 ( dthetadt )^2 (alpha^2 + 1) - Cr e . A energia total será:

Passo 10

Para simplificar, precisamos relacionar drdt = alpha r dthetadt com dthetadt = 1alpha r drdt . Como E = 12 m r^2 ( 1alpha r drdt )^2 (alpha^2 + 1) - Cr = 12 m (drdt)^2alpha^2 (alpha^2 + 1) - Cr , derivando em relação ao tempo:
Podemos reescrever em termos de :
Substituindo isso na expressão da energia total :

Passo 11

Finalmente, a energia total da partícula na órbita espiral logarítmica é dada por:
E = 12 m ( drdt )^2 ( alpha^2 + 1alpha^2 ) - Cr

Resposta

A energia total da partícula na órbita espiral logarítmica é:
E = 12 m ( drdt )^2 ( alpha^2 + 1alpha^2 ) - Cr

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