Uma partícula se move em uma órbita espiral logarítmica, cujo raio é dado por
com
e
constantes.
d) Calcule a energia total da partícula nesta órbita.
d) Calcule a energia total da partícula nesta órbita.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a energia total de uma partícula que se move em uma órbita espiral logarítmica. O enunciado nos dá a fórmula do raio dessa órbita:
, onde
e
são constantes. Para encontrar a energia total da partícula, precisamos calcular tanto a energia cinética quanto a energia potencial e depois somá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é energia total. A energia total
de uma partícula é a soma da energia cinética
e da energia potencial
:
Então, nosso objetivo será calcular
e
separadamente.
Passo 3
Vamos começar calculando a energia cinética
. A energia cinética de uma partícula é dada por:
onde
é a massa da partícula e
é a velocidade dela. Precisamos descobrir a expressão para
.
Passo 4
A velocidade
da partícula em coordenadas polares pode ser expressa em termos de
e
da seguinte forma:
Para simplificar, vamos expressar
e
em termos de
.
Passo 5
Sabemos que
. Vamos derivar
em relação a
:
Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão da velocidade:
Portanto, a velocidade é proporcional a
e
.
Passo 7
Agora, vamos substituir
na fórmula da energia cinética:
Passo 8
Em seguida, vamos calcular a energia potencial
. Se considerarmos que a partícula está sujeita a uma força central, a energia potencial geralmente tem a forma:
onde
é a constante gravitacional,
é a massa de um corpo central, e
é a massa da partícula. No entanto, como não temos mais informações sobre a força central, vamos assumir que a energia potencial é proporcional a
:
onde
é uma constante.
Passo 9
Agora, temos as expressões para
e
. A energia total
será:
Passo 10
Para simplificar, precisamos relacionar
com
. Como
, derivando em relação ao tempo:
Podemos reescrever
em termos de
:
Substituindo isso na expressão da energia total
:
Passo 11
Finalmente, a energia total da partícula na órbita espiral logarítmica é dada por:
Resposta
A energia total da partícula na órbita espiral logarítmica é: