Uma partícula de massa de repouso M viajando no espaço com velocidade beta c se desintegra em duas partículas idênticas de massa de repouso m. Determine o ângulo mínimo que as partículas de massa m fazem com a direção do movimento da partícula M vista no referencial que vê M se movendo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa de repouso M que tá viajando no espaço com uma velocidade beta c. Ela se desintegra em duas partículas iguais, cada uma com massa de repouso m. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o ângulo mínimo que essas partículas m fazem com a direção original de movimento da partícula M, observando de um referencial onde M está se movendo.
Aqui a gente vai precisar usar conceitos de relatividade restrita, como a conservação de momento e de energia, além de entender como as partículas se comportam quando estão se movendo a velocidades próximas à da luz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na relatividade, a conservação do momento e da energia são fundamentais. Quando a partícula M se desintegra, o total de momento e de energia antes e depois da desintegração deve ser o mesmo.
Vamos começar calculando o momento total da partícula M antes da desintegração. O momento relativístico é dado por:
p = gamma M beta c
onde gamma = 1raiz1 - beta^2 é o fator de Lorentz.

Passo 3

Agora, após a desintegração, temos duas partículas de massa m cada. Vamos supor que elas se movem com velocidades v1 e v2, formando um ângulo theta com a direção original de M.
Para a conservação do momento, a soma dos momentos dessas duas partículas deve ser igual ao momento original de M:
gamma M beta c = gamma' m v (costheta + costheta) (componentes na direção original) çã
e
0 = gamma' m v sintheta - gamma' m v sintheta (componentes perpendiculares)
Isso nos mostra que as partículas devem ter componentes de momento que se cancelam na direção perpendicular, mantendo o equilíbrio.

Passo 4

Vamos agora considerar a conservação da energia. A energia total antes da desintegração é:
Einicial = gamma M c^2
Depois da desintegração, a energia total é a soma das energias das duas partículas m:
Efinal = 2 gamma' m c^2
Pela conservação da energia:
gamma M c^2 = 2 gamma' m c^2
Simplificando:
gamma M = 2 gamma' m

Passo 5

Agora, precisamos relacionar o fator gamma' das partículas m com a velocidade delas. Sabemos que:
gamma' = 1raiz1 - (vc)^2
Além disso, pela conservação do momento na direção original:
gamma M beta c = 2 gamma' m v costheta
Podemos substituir gamma M pela expressão obtida na conservação da energia:
2 gamma' m beta c = 2 gamma' m v costheta
Simplificando:
beta c = v costheta

Passo 6

Isolando v:
v = beta ccostheta
Agora, substituindo v na expressão de gamma':
gamma' = 1raiz1 - (betacostheta)^2
Para que gamma' seja real, o denominador deve ser positivo:
1 - (betacostheta)^2 > 0 1 > (betacostheta)^2 cos^2theta > beta^2 costheta > beta

Passo 7

Como estamos procurando o ângulo mínimo thetamin, essa desigualdade se torna uma igualdade:
costhetamin = beta
Então, para encontrar thetamin, basta calcular o arco cosseno de beta:
thetamin = cos^-1(beta)

Resposta

O ângulo mínimo que as partículas de massa m fazem com a direção do movimento da partícula M é:
thetamin = cos^-1(beta)

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