Uma partícula de massa de repouso
viajando no espaço com velocidade
se desintegra em duas partículas idênticas de massa de repouso
. Determine o ângulo mínimo que as partículas de massa
fazem com a direção do movimento da partícula
vista no referencial que vê
se movendo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa de repouso
que tá viajando no espaço com uma velocidade
. Ela se desintegra em duas partículas iguais, cada uma com massa de repouso
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o ângulo mínimo que essas partículas
fazem com a direção original de movimento da partícula
, observando de um referencial onde
está se movendo.
Aqui a gente vai precisar usar conceitos de relatividade restrita, como a conservação de momento e de energia, além de entender como as partículas se comportam quando estão se movendo a velocidades próximas à da luz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na relatividade, a conservação do momento e da energia são fundamentais. Quando a partícula
se desintegra, o total de momento e de energia antes e depois da desintegração deve ser o mesmo.
Vamos começar calculando o momento total da partícula
antes da desintegração. O momento relativístico é dado por:
onde
é o fator de Lorentz.
Passo 3
Agora, após a desintegração, temos duas partículas de massa
cada. Vamos supor que elas se movem com velocidades
e
, formando um ângulo
com a direção original de
.
Para a conservação do momento, a soma dos momentos dessas duas partículas deve ser igual ao momento original de
:
e
Isso nos mostra que as partículas devem ter componentes de momento que se cancelam na direção perpendicular, mantendo o equilíbrio.
Passo 4
Vamos agora considerar a conservação da energia. A energia total antes da desintegração é:
Depois da desintegração, a energia total é a soma das energias das duas partículas
:
Pela conservação da energia:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos relacionar o fator
das partículas
com a velocidade delas. Sabemos que:
Além disso, pela conservação do momento na direção original:
Podemos substituir
pela expressão obtida na conservação da energia:
Simplificando:
Passo 6
Isolando
:
Agora, substituindo
na expressão de
:
Para que
seja real, o denominador deve ser positivo:
Passo 7
Como estamos procurando o ângulo mínimo
, essa desigualdade se torna uma igualdade:
Então, para encontrar
, basta calcular o arco cosseno de
:
Resposta
O ângulo mínimo que as partículas de massa
fazem com a direção do movimento da partícula
é: