Uma partícula de massa de repouso viajando no espaço com velocidade se desintegra em duas partículas idênticas de massa de repouso . Determine o ângulo mínimo que as partículas de massa fazem com a direção do movimento da partícula vista no referencial que vê se movendo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa de repouso que tá viajando no espaço com uma velocidade . Ela se desintegra em duas partículas iguais, cada uma com massa de repouso . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o ângulo mínimo que essas partículas fazem com a direção original de movimento da partícula , observando de um referencial onde está se movendo.
Aqui a gente vai precisar usar conceitos de relatividade restrita, como a conservação de momento e de energia, além de entender como as partículas se comportam quando estão se movendo a velocidades próximas à da luz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na relatividade, a conservação do momento e da energia são fundamentais. Quando a partícula se desintegra, o total de momento e de energia antes e depois da desintegração deve ser o mesmo.
Vamos começar calculando o momento total da partícula antes da desintegração. O momento relativístico é dado por:
onde é o fator de Lorentz.

Passo 3

Agora, após a desintegração, temos duas partículas de massa cada. Vamos supor que elas se movem com velocidades e , formando um ângulo com a direção original de .
Para a conservação do momento, a soma dos momentos dessas duas partículas deve ser igual ao momento original de :
çã
e
Isso nos mostra que as partículas devem ter componentes de momento que se cancelam na direção perpendicular, mantendo o equilíbrio.

Passo 4

Vamos agora considerar a conservação da energia. A energia total antes da desintegração é:
Depois da desintegração, a energia total é a soma das energias das duas partículas :
Pela conservação da energia:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos relacionar o fator das partículas com a velocidade delas. Sabemos que:
Além disso, pela conservação do momento na direção original:
Podemos substituir pela expressão obtida na conservação da energia:
Simplificando:

Passo 6

Isolando :
Agora, substituindo na expressão de :
Para que seja real, o denominador deve ser positivo:

Passo 7

Como estamos procurando o ângulo mínimo , essa desigualdade se torna uma igualdade:
Então, para encontrar , basta calcular o arco cosseno de :

Resposta

O ângulo mínimo que as partículas de massa fazem com a direção do movimento da partícula é:

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