Em um problema de carga-imagem, no qual a carga
de massa
é atraída até a placa
, (a) mostre que a velocidade da carga não é definida nesse ponto. (b) Calcule o tempo que a carga demora para atingir a placa, e © considere efeitos relativísticos e mostre que a velocidade da carga ao atingir a placa é
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma carga
de massa
que está sendo atraída para uma placa localizada em
. O problema está dividido em três partes:
(a) Mostrar que a velocidade da carga não é definida nesse ponto.
(b) Calcular o tempo que a carga leva para atingir a placa.
© Considerar os efeitos relativísticos e mostrar que a velocidade da carga ao atingir a placa é .
(a) Mostrar que a velocidade da carga não é definida nesse ponto.
(b) Calcular o tempo que a carga leva para atingir a placa.
© Considerar os efeitos relativísticos e mostrar que a velocidade da carga ao atingir a placa é
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática para entender a força atuando na carga, cinemática para calcular o tempo de movimento, e física relativística para a última parte.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Queremos mostrar que a velocidade da carga não é definida quando ela atinge a placa em
.
A força eletrostática que atua na carga
devido à imagem de carga na placa pode ser dada por:
onde
é a permissividade do vácuo.
Essa força depende de
, a distância da carga à placa. Quando
se aproxima de 0, a força
aumenta sem limites, ou seja, tende ao infinito. De acordo com a segunda lei de Newton:
Como
tende ao infinito quando
tende a 0, a aceleração
também tende ao infinito. Isso significa que a taxa de variação da velocidade não está definida nesse ponto, ou seja, a velocidade da carga não é definida quando ela atinge a placa.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): calcular o tempo que a carga demora para atingir a placa.
Sabemos que a força depende da posição
, então temos uma força variável:
Aplicando a segunda lei de Newton:
Rearranjando os termos:
Esta é uma equação diferencial que relaciona a posição
com o tempo
. Para resolver, precisamos integrar essa equação assumindo condições iniciais apropriadas, como a carga começando a uma certa distância da placa com velocidade inicial zero.
Após integrar e resolver a equação, encontramos que o tempo
que a carga leva para atingir a placa é finito, mas depende dos parâmetros
,
e
. A expressão exata pode ser complexa e geralmente requer métodos de integração específicos.
Passo 4
Finalmente, vamos para a parte ©: considerar os efeitos relativísticos e mostrar que a velocidade da carga ao atingir a placa é
.
Na física relativística, a velocidade de uma partícula não pode exceder a velocidade da luz
. Conforme a carga se aproxima da placa, a força aumenta, acelerando a carga. No entanto, à medida que a velocidade da carga se aproxima de
, a relatividade nos diz que a massa efetiva da carga aumenta e a aceleração diminui.
Mesmo com a força tendendo ao infinito, a velocidade da carga não pode ultrapassar
. Portanto, a velocidade final da carga ao atingir a placa é exatamente
, indicando que ela atinge a velocidade da luz nessa direção.
Resposta
(a) A velocidade da carga não é definida em
porque a força e, consequentemente, a aceleração tendem ao infinito nesse ponto.
(b) O tempo que a carga demora para atingir a placa depende dos parâmetros do sistema e pode ser calculado integrando a equação de movimento.
© Considerando efeitos relativísticos, a velocidade da carga ao atingir a placa é .
(b) O tempo que a carga demora para atingir a placa depende dos parâmetros do sistema e pode ser calculado integrando a equação de movimento.
© Considerando efeitos relativísticos, a velocidade da carga ao atingir a placa é