Em um problema de carga-imagem, no qual a carga q de massa m é atraída até a placa (x=0), (a) mostre que a velocidade da carga não é definida nesse ponto. (b) Calcule o tempo que a carga demora para atingir a placa, e © considere efeitos relativísticos e mostre que a velocidade da carga ao atingir a placa é v(0)=-c.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma carga de massa que está sendo atraída para uma placa localizada em . O problema está dividido em três partes:
(a) Mostrar que a velocidade da carga não é definida nesse ponto.
(b) Calcular o tempo que a carga leva para atingir a placa.
© Considerar os efeitos relativísticos e mostrar que a velocidade da carga ao atingir a placa é .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática para entender a força atuando na carga, cinemática para calcular o tempo de movimento, e física relativística para a última parte.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Queremos mostrar que a velocidade da carga não é definida quando ela atinge a placa em F = 14pivarepsilon0 cdot q^2(2x)^2 = q^216pivarepsilon0 x^2 .
A força eletrostática que atua na carga F = m cdot a devido à imagem de carga na placa pode ser dada por:
a = Fm = q^216pivarepsilon0 m x^2
onde é a permissividade do vácuo.
Essa força depende de , a distância da carga à placa. Quando se aproxima de 0, a força aumenta sem limites, ou seja, tende ao infinito. De acordo com a segunda lei de Newton:
Como tende ao infinito quando tende a 0, a aceleração também tende ao infinito. Isso significa que a taxa de variação da velocidade não está definida nesse ponto, ou seja, a velocidade da carga não é definida quando ela atinge a placa.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): calcular o tempo que a carga demora para atingir a placa.
Sabemos que a força depende da posição F(x) = q^216pivarepsilon0 x^2 , então temos uma força variável:
m cdot d^2xdt^2 = q^216pivarepsilon0 x^2
Aplicando a segunda lei de Newton:
d^2xdt^2 = q^216pivarepsilon0 m x^2
Rearranjando os termos:
Esta é uma equação diferencial que relaciona a posição com o tempo . Para resolver, precisamos integrar essa equação assumindo condições iniciais apropriadas, como a carga começando a uma certa distância da placa com velocidade inicial zero.
Após integrar e resolver a equação, encontramos que o tempo que a carga leva para atingir a placa é finito, mas depende dos parâmetros , e . A expressão exata pode ser complexa e geralmente requer métodos de integração específicos.

Passo 4

Finalmente, vamos para a parte ©: considerar os efeitos relativísticos e mostrar que a velocidade da carga ao atingir a placa é .
Na física relativística, a velocidade de uma partícula não pode exceder a velocidade da luz . Conforme a carga se aproxima da placa, a força aumenta, acelerando a carga. No entanto, à medida que a velocidade da carga se aproxima de , a relatividade nos diz que a massa efetiva da carga aumenta e a aceleração diminui.
Mesmo com a força tendendo ao infinito, a velocidade da carga não pode ultrapassar . Portanto, a velocidade final da carga ao atingir a placa é exatamente , indicando que ela atinge a velocidade da luz nessa direção.

Resposta

(a) A velocidade da carga não é definida em porque a força e, consequentemente, a aceleração tendem ao infinito nesse ponto.
(b) O tempo que a carga demora para atingir a placa depende dos parâmetros do sistema e pode ser calculado integrando a equação de movimento.
© Considerando efeitos relativísticos, a velocidade da carga ao atingir a placa é .

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