Uma partícula de massa e velocidade , e um fóton de frequência , se movem formando um ângulo de com a horizontal (um indo de encontro ao outro). Após colidirem, eles produzem um fóton que se move na direção vertical e uma massa se movendo para a direita. Calcule .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa que está se movendo com uma velocidade , onde é a velocidade da luz. Além disso, temos um fóton com frequência , onde é a constante de Planck. Esses dois objetos estão se movendo formando um ângulo de com a horizontal e estão indo um em direção ao outro. Após a colisão, eles produzem um novo fóton que se move na direção vertical e uma massa que está se movendo para a direita. Nosso objetivo aqui é calcular o valor de .
Para resolver essa questão, vamos precisar usar os conceitos de conservação de quantidade de movimento e conservação de energia, levando em conta os efeitos da relatividade especial, já que as velocidades envolvidas são próximas à velocidade da luz.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a quantidade de movimento da partícula. Na relatividade especial, a quantidade de movimento de uma partícula é dada por:
onde é o fator de Lorentz, definido por:
Substituindo :
Então, a quantidade de movimento da partícula é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a quantidade de movimento do fóton inicial. A quantidade de movimento de um fóton é dada por:
E a energia de um fóton é relacionada à sua frequência por:
Substituindo :
Então, a quantidade de movimento do fóton é:
Passo 4
Antes da colisão, temos dois objetos com quantidade de movimento nas direções horizontal e formando um ângulo de com a horizontal. Vamos decompor os momentos nas direções (horizontal) e (vertical).
Para a partícula:
Para o fóton:
Como o fóton está se movendo de encontro à partícula, a direção horizontal será oposta. Portanto:
Passo 5
Após a colisão, temos um novo fóton que se move na direção vertical e uma massa que se move para a direita (direção horizontal). Vamos chamar da quantidade de movimento da massa .
Primeiro, aplicamos a conservação da quantidade de movimento na direção horizontal:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Agora, aplicamos a conservação da quantidade de movimento na direção vertical. Após a colisão, o fóton resultante está se movendo apenas na vertical, então a quantidade de movimento da massa na vertical é zero. Portanto:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, precisamos considerar a conservação da energia. A energia total antes da colisão deve ser igual à energia total após a colisão.
A energia da partícula é:
A energia do fóton inicial é:
A energia total antes da colisão:
Após a colisão, temos a energia do novo fóton e a energia da massa :
Onde é o fator de Lorentz para a massa . Como a massa está se movendo com quantidade de movimento , temos:
E a energia da massa :
Como o fóton final está se movendo verticalmente, sua energia é:
Então, a conservação da energia nos dá:
Isolando :
Agora, lembrando que:
E temos que . Mas para simplificar, podemos relacionar com a quantidade de movimento:
Mas para encontrar , podemos dividir a equação da energia pela quantidade de movimento:
Então:
Substituindo :
Substituindo :
Simplificando:
Para resolver essa equação, podemos fazer algumas aproximações, mas de maneira geral, ela pode ser resolvida numericamente para encontrar .
Resposta
Após os cálculos, a massa resultante é aproximadamente .