Uma partícula de massa m e velocidade v=45 c, e um fóton de frequência f=m c^2h, se movem formando um ângulo de 30^circ com a horizontal (um indo de encontro ao outro). Após colidirem, eles produzem um fóton que se move na direção vertical e uma massa M se movendo para a direita. Calcule M.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa que está se movendo com uma velocidade , onde é a velocidade da luz. Além disso, temos um fóton com frequência , onde é a constante de Planck. Esses dois objetos estão se movendo formando um ângulo de com a horizontal e estão indo um em direção ao outro. Após a colisão, eles produzem um novo fóton que se move na direção vertical e uma massa que está se movendo para a direita. Nosso objetivo aqui é calcular o valor de .
Para resolver essa questão, vamos precisar usar os conceitos de conservação de quantidade de movimento e conservação de energia, levando em conta os efeitos da relatividade especial, já que as velocidades envolvidas são próximas à velocidade da luz.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a quantidade de movimento da partícula. Na relatividade especial, a quantidade de movimento p = gamma m v de uma partícula é dada por:
gamma = 1raiz1 - v^2c^2
onde gamma = 1raiz1 - ( 45 )^2 = 1raiz1 - 1625 = 1raiz925 = 53 é o fator de Lorentz, definido por:
ppartícula = gamma m v = 53 cdot m cdot 45 c = 2015 m c = 43 m c
Substituindo :
Então, a quantidade de movimento da partícula é:
í

Passo 3

Agora, vamos calcular a quantidade de movimento do fóton inicial. A quantidade de movimento de um fóton é dada por:
pfóton = Ec ó
E a energia E = h f de um fóton é relacionada à sua frequência por:
E = h cdot m c^2h = m c^2
Substituindo pfóton = m c^2c = m c :
Então, a quantidade de movimento do fóton é:
ó

Passo 4

Antes da colisão, temos dois objetos com quantidade de movimento nas direções horizontal e formando um ângulo de ppartícula, x = ppartícula cos(30^circ) = 43 m c cdot raiz32 = 2 raiz33 m c com a horizontal. Vamos decompor os momentos nas direções ppartícula, y = ppartícula sin(30^circ) = 43 m c cdot 12 = 23 m c (horizontal) e pfóton, x = -m c cos(30^circ) = -m c cdot raiz32 = -raiz32 m c (vertical).
Para a partícula:
pfóton, y = m c sin(30^circ) = m c cdot 12 = 12 m c íí
íí
Para o fóton:
Como o fóton está se movendo de encontro à partícula, a direção horizontal será oposta. Portanto:
ó
ó

Passo 5

Após a colisão, temos um novo fóton que se move na direção vertical e uma massa ppartícula, x + pfóton, x = pM que se move para a direita (direção horizontal). Vamos chamar 2 raiz33 m c - raiz32 m c = pM da quantidade de movimento da massa pM = ( 2 raiz33 - raiz32 ) m c = ( 4 raiz36 - 3 raiz36 ) m c = raiz36 m c .
Primeiro, aplicamos a conservação da quantidade de movimento na direção horizontal:
íó
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Agora, aplicamos a conservação da quantidade de movimento na direção vertical. Após a colisão, o fóton resultante está se movendo apenas na vertical, então a quantidade de movimento da massa ppartícula, y + pfóton, y = pfóton final, y na vertical é zero. Portanto:
23 m c + 12 m c = pfóton final, y íóó
Substituindo os valores:
pfóton final, y = 23 m c + 12 m c = 46 m c + 36 m c = 76 m c ó
Simplificando:
ó

Passo 7

Finalmente, precisamos considerar a conservação da energia. A energia total antes da colisão deve ser igual à energia total após a colisão.
A energia da partícula é:
Epartícula = gamma m c^2 = 53 m c^2 í
A energia do fóton inicial é:
Efóton = m c^2 ó
A energia total antes da colisão:
Etotal antes = 53 m c^2 + m c^2 = 83 m c^2
Após a colisão, temos a energia do novo fóton e a energia da massa Etotal depois = Efóton final + gammaM M c^2 :
pM = gammaM M vM ó
Onde EM = gammaM M c^2 é o fator de Lorentz para a massa Efóton final = pfóton final, y c = 76 m c cdot c = 76 m c^2 . Como a massa 83 m c^2 = 76 m c^2 + gammaM M c^2 está se movendo com quantidade de movimento gammaM M c^2 = 83 m c^2 - 76 m c^2 = 166 m c^2 - 76 m c^2 = 96 m c^2 = 32 m c^2 , temos:
pM = gammaM M vM
E a energia da massa gammaM = 1raiz1 - vM^2c^2 :
gammaM M = 32 m c^2c^2 = 32 m
Como o fóton final está se movendo verticalmente, sua energia é:
gammaM M = 32 m óó
Então, a conservação da energia nos dá:
M raiz1 + ( pMM c )^2 = 32 m
Isolando M raiz1 + ( raiz36 m cM c )^2 = 32 m :
M raiz1 + ( raiz36 cdot mM )^2 = 32 m
Agora, lembrando que:
E temos que . Mas para simplificar, podemos relacionar com a quantidade de movimento:
Mas para encontrar , podemos dividir a equação da energia pela quantidade de movimento:
Então:
Substituindo :
Substituindo :
Simplificando:
Para resolver essa equação, podemos fazer algumas aproximações, mas de maneira geral, ela pode ser resolvida numericamente para encontrar .

Resposta

Após os cálculos, a massa resultante é aproximadamente .

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