Suponha que duas partículas idênticas de massa m e energia cinética T colidam frontalmente. Qual a energia cinética relativa entre eles, T^prime (i.e., a energia cinética de um no referencial em que o outro está em repouso)?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem duas partículas iguais, cada uma com massa e energia cinética , que estão se aproximando de frente uma da outra. O que a gente precisa descobrir é qual é a energia cinética relativa entre elas, ou seja, a energia cinética de uma partícula no referencial onde a outra está em repouso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física clássica sobre energia cinética e mudança de referencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética ( T = 12 m v^2 ) de uma partícula está relacionada à sua massa ( v = raiz2Tm ) e à sua velocidade ( ) pela fórmula:
Queremos descobrir a velocidade de cada partícula. A gente pode rearranjar a fórmula para encontrar :

Passo 3

Agora, consideremos o referencial de laboratório, onde uma partícula está se movendo para a direita com velocidade e a outra para a esquerda com velocidade (já que estão colidindo frontalmente). Ou seja, as velocidades são e .

Passo 4

Para encontrar a energia cinética relativa, precisamos mudar para o referencial onde uma das partículas está em repouso. Vamos escolher o referencial da partícula que se movia para a esquerda. Neste novo referencial, essa partícula está parada, e a outra partícula, que antes tinha velocidade , agora terá uma velocidade diferente.

Passo 5

A velocidade da partícula que estava se movendo para a direita, nesse novo referencial, é a velocidade relativa entre as duas partículas. Como uma estava indo para a direita com v' = v - (-v) = 2v e a outra para a esquerda com , a velocidade relativa é:
Então, no referencial onde uma partícula está em repouso, a outra está se movendo com velocidade .

Passo 6

Agora, vamos calcular a energia cinética dessa partícula no novo referencial usando a fórmula da energia cinética:
T' = 12 m v'^2 = 12 m (2v)^2 = 12 m cdot 4v^2 = 2 m v^2
Mas lembremos que 2 m v^2 = 4T , então:

Resposta

A energia cinética relativa entre as partículas é .

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