Uma partícula se move de acordo com a função horária s(t)=14+34 t-t^2 (S.I.). Determine: a posição na trajetória na qual a partícula inverte o sentido da trajetória;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos a função horária da posição de uma partícula:
s(t) = 14 + 34t - t^2
Nosso objetivo é determinar a posição na trajetória onde a partícula inverte o sentido de movimento. Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de cálculo, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a velocidade da partícula.

Passo 2

Para descobrir quando a partícula muda de direção, precisamos encontrar o instante de tempo em que a velocidade dela é igual a zero. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos calcular a derivada de v(t) = dsdt = ddt(14 + 34t - t^2) :
v(t) = 0 + 34 - 2t = 34 - 2t
Calculando a derivada termo a termo:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o tempo 34 - 2t = 0 em que a velocidade 2t = 34 t = 38 é igual a zero:
Resolvendo para :
Então, a partícula inverte o sentido de movimento no instante segundos.

Passo 4

Para encontrar a posição na trajetória onde isso ocorre, substituímos s(38) = 14 + 34(38) - (38)^2 na função da posição s(38) = 14 + 932 - 964 :
14 = 1664 932 = 1864
Vamos calcular cada termo:
  1. s(38) = 1664 + 1864 - 964 = 2564
Substituindo de volta:
Para somar essas frações, vamos converter todas para denominador 64:
Agora:

Resposta

A partícula inverte o sentido de movimento na posição metros.

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