Seja t1 e t2 os instante em que uma partícula realizando MUV passa pela origem. Mostre que v(t1)=-v(t2)

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre Movimento Uniformemente Variado (MUV). Temos uma partícula que passa pela origem nos instantes e . Nosso objetivo é mostrar que a velocidade da partícula nesses momentos é igual em módulo, mas com sinais opostos, ou seja, . Para isso, vamos usar as equações do MUV e analisar as velocidades nesses instantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação da posição no MUV:
s(t) = s0 + v0 t + 12 a t^2
Como a partícula passa pela origem, sabemos que 0 = s0 + v0 t1 + 12 a t1^2 e 0 = s0 + v0 t2 + 12 a t2^2 . Isso nos dá duas equações:

Passo 3

Agora, vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar 0 = v0 (t1 - t2) + 12 a (t1^2 - t2^2) :
0 = (t1 - t2) ( v0 + 12 a (t1 + t2) )
Fatorando, temos:
v0 + 12 a (t1 + t2) = 0
Como v0 = -12 a (t1 + t2) , podemos dividir por :
Desse modo:

Passo 4

Agora, vamos usar a equação da velocidade no MUV:
v(t) = v0 + a t
Substituindo v(t1) = -12 a (t1 + t2) + a t1 = 12 a (t1 - t2) que encontramos:
v(t2) = -12 a (t1 + t2) + a t2 = 12 a (t2 - t1)

Resposta

Portanto, temos que:
v(t1) = -v(t2)

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