Uma partícula se move apenas em um plano horizontal xy com aceleração dada por a(t)=4 t i+3 t j. Em t=0, o vetor posição r=25 i+35 j indica a localização da partícula, que nesse instante tem uma velocidade v=4 i+2 j. Em t=4 s, determine: (a) o vetor posição em termos dos vetores unitários e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão envolve movimento de uma partícula no plano horizontal xy. O que precisamos fazer é encontrar o vetor posição da partícula no tempo t = 4 segundos, dado que sabemos a aceleração dela e as condições iniciais de posição e velocidade. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial, que envolvem integrar a aceleração para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a aceleração da partícula. A aceleração é dada por:
a(t) = 4t,i + 3t,j
Isso significa que a aceleração tem componentes que dependem do tempo t nas direções i e j.

Passo 3

Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A integral de aceleração nos dá a velocidade. Vamos integrar cada componente separadamente:
v(t) = integral a(t) , dt = integral (4t,i + 3t,j) , dt
Integrando:
v(t) = 2t^2,i + 32t^2,j + C
Onde C é a constante de integração, que podemos encontrar usando a condição inicial da velocidade.

Passo 4

Sabemos que em t = 0, a velocidade é:
v(0) = 4,i + 2,j
Substituindo t = 0 na expressão da velocidade:
4,i + 2,j = 0,i + 0,j + C
Portanto, C = 4i + 2j. Assim, a expressão da velocidade fica:
v(t) = 2t^2,i + 32t^2,j + 4,i + 2,j
Simplificando:
v(t) = (2t^2 + 4),i + (32t^2 + 2),j

Passo 5

Agora, vamos encontrar a posição da partícula. Para isso, integramos a velocidade em relação ao tempo:
r(t) = integral v(t) , dt = integral [(2t^2 + 4),i + (32t^2 + 2),j] , dt
Integrando cada componente:
r(t) = (23t^3 + 4t),i + (12t^3 + 2t),j + D
Onde D é a constante de integração, que vamos determinar usando a condição inicial de posição.

Passo 6

Sabemos que em t = 0, a posição é:
r(0) = 25,i + 35,j
Substituindo t = 0 na expressão da posição:
25,i + 35,j = 0,i + 0,j + D
Portanto, D = 25i + 35j. Assim, a expressão da posição fica:
r(t) = (23t^3 + 4t + 25),i + (12t^3 + 2t + 35),j

Passo 7

Finalmente, substituímos t = 4 segundos na expressão da posição para encontrar o vetor posição nesse instante:
r(4) = (23(4)^3 + 4 times 4 + 25),i + (12(4)^3 + 2 times 4 + 35),j
Calculando os valores:
Para a componente i:
23(64) + 16 + 25 = 1283 + 41 approx 42.67 + 41 = 83.67
Para a componente j:
12(64) + 8 + 35 = 32 + 43 = 75

Resposta

Portanto, o vetor posição da partícula em t = 4 segundos é aproximadamente:
r(4) approx 83.67,i + 75,j

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