Uma partícula se move apenas em um plano horizontal xy com aceleração dada por
. Em
, o vetor posição
indica a localização da partícula, que nesse instante tem uma velocidade
. Em
, determine: (a) o vetor posição em termos dos vetores unitários e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão envolve movimento de uma partícula no plano horizontal xy. O que precisamos fazer é encontrar o vetor posição da partícula no tempo t = 4 segundos, dado que sabemos a aceleração dela e as condições iniciais de posição e velocidade. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial, que envolvem integrar a aceleração para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a aceleração da partícula. A aceleração é dada por:
Isso significa que a aceleração tem componentes que dependem do tempo t nas direções i e j.
Passo 3
Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A integral de aceleração nos dá a velocidade. Vamos integrar cada componente separadamente:
Integrando:
Onde C é a constante de integração, que podemos encontrar usando a condição inicial da velocidade.
Passo 4
Sabemos que em t = 0, a velocidade é:
Substituindo t = 0 na expressão da velocidade:
Portanto, C = 4i + 2j. Assim, a expressão da velocidade fica:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a posição da partícula. Para isso, integramos a velocidade em relação ao tempo:
Integrando cada componente:
Onde D é a constante de integração, que vamos determinar usando a condição inicial de posição.
Passo 6
Sabemos que em t = 0, a posição é:
Substituindo t = 0 na expressão da posição:
Portanto, D = 25i + 35j. Assim, a expressão da posição fica:
Passo 7
Finalmente, substituímos t = 4 segundos na expressão da posição para encontrar o vetor posição nesse instante:
Calculando os valores:
Para a componente i:
Para a componente j:
Resposta
Portanto, o vetor posição da partícula em t = 4 segundos é aproximadamente: