Um tanque contém originalmente
de água pura. Uma solução de
de certo sal é introduzida no tanque com uma vazão de
e a solução homogênea resultante sai do tanque com a mesma vazão. Depois de 10 minutos o processo é interrompido e água pura é despejada no tanque com uma vazão de
; a solução sai novamente do tanque com a mesma vazão. Determine a quantidade de sal no tanque após mais 10 minutos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque com 400 litros de água pura. Primeiro, uma solução com 50 g/l de sal entra no tanque a uma vazão de 10 l/min e a mistura sai com a mesma velocidade. Depois de 10 minutos, a gente para de adicionar sal e passa a adicionar só água pura, mantendo a mesma vazão. A matéria que vamos usar aqui é de balanceamento de massa em sistemas de mistura. Precisamos calcular quanto sal resta no tanque após mais 10 minutos.
Passo 2
Vamos começar analisando os primeiros 10 minutos, quando a solução com sal está entrando no tanque. A quantidade de sal que entra por minuto é a concentração multiplicada pela vazão:
.
Passo 3
Agora, vamos considerar que a solução sai do tanque com a mesma vazão, ou seja, 10 l/min. A concentração de sal na saída depende de quanto sal está no tanque naquele momento. Se chamarmos
a quantidade de sal no tanque em função do tempo, a taxa de saída de sal é
.
Passo 4
Vamos montar a equação diferencial do balanceamento de massa para os primeiros 10 minutos:
Isso é uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar
.
Passo 5
Resolvendo a equação diferencial:
Integrando fator integrante , obtemos:
Como
(começamos com água pura), simplifica para:
Após 10 minutos:
Passo 6
Agora, a partir dos 10 minutos, só entra água pura, o que significa que a única coisa que acontece é a diluição do sal já presente. A taxa de entrada de sal agora é zero, então a equação fica:
Passo 7
Resolvendo essa equação diferencial:
A solução dessa equação é:
Para
minutos:
Resposta
Após mais 10 minutos, a quantidade de sal no tanque é aproximadamente 1720 gramas.
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é solução da equação diferencial.
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.
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