Três corpos A, B e C de massas mA=4,00 kg, mB=8,00 kg e mC=4,00 kg estão inicialmente em repouso em t=0 s nas posições dadas pelos vetores rA=(-2,00 i+3,00 j) m, rB=(4,00 i+2,00 j) m e rC=(1,00 i-2,00 j) m,. Cada uma sofre a ação de uma força externa. Essas forças são dadas por FA=-6,00 N, FB=(6,00 raiz2,00 i+6,00 raiz2,00 j) N e FC=14,0 N. Calcule:
a) a posição do centro de massa do sistema em t=0 s: R: xcm=1 , 7 5 m ; ycm=1 , 2 5 m

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. Temos três objetos, chamados A, B e C, cada um com uma massa diferente e localizados em posições específicas no espaço. O que a gente quer descobrir é a posição do centro de massa desse sistema no tempo inicial, ou seja, em t = 0 s. O centro de massa é como se fosse o “ponto médio” onde toda a massa do sistema pode ser considerada concentrada.

Passo 2

Para encontrar a posição do centro de massa, usamos a seguinte fórmula:
xcm = sum mi risum mi
Onde:
  • mi são as massas dos objetos.
  • ri são as posições dos objetos.
  • A somatória no numerador multiplica cada massa pela sua posição correspondente.
  • O denominador é a soma de todas as massas.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Massa de A, mA = 4,00 kg
  • Massa de B, mB = 8,00 kg
  • Massa de C, mC = 4,00 kg
E as posições:
  • Posição de A, rA = (-2,00 i + 3,00 j) m
  • Posição de B, rB = (4,00 i + 2,00 j) m
  • Posição de C, rC = (1,00 i - 2,00 j) m

Passo 4

Vamos calcular a soma das massas:
sum mi = mA + mB + mC = 4,00 + 8,00 + 4,00 = 16,00 kg

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma das massas vezes as posições para as componentes x e y separadamente.
Para a componente x:
sum mi xi = (4,00 times -2,00) + (8,00 times 4,00) + (4,00 times 1,00) = -8,00 + 32,00 + 4,00 = 28,00 kg cdot m
Para a componente y:
sum mi yi = (4,00 times 3,00) + (8,00 times 2,00) + (4,00 times -2,00) = 12,00 + 16,00 - 8,00 = 20,00 kg cdot m

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do centro de massa para cada componente.
Para xcm:
xcm = 28,0016,00 = 1,75 m
Para ycm:
ycm = 20,0016,00 = 1,25 m

Resposta

A posição do centro de massa do sistema em t = 0 s é:
xcm = (1,75 i + 1,25 j) m

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