Resolva os problemas de valor inicial:
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
E as condições iniciais são
e
. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, encontrar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular para os termos do lado direito.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos as raízes
e
.
Passo 3
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar mais adiante usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
A gente vai separar em duas partes: uma para
e outra para
.
Passo 5
Primeiro, vamos para o termo
. Suponhamos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Então,
Passo 6
Agora, para o segundo termo
, a solução particular será da forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Logo,
Então,
Passo 7
A solução particular total é a soma das duas soluções particulares encontradas:
Passo 8
Então, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 9
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Substituindo
:
Segunda condição:
Primeiro, derivamos
:
Substituindo
:
Agora, temos o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: