Resolva os problemas de valor inicial:
(i) y'' - 3y' + 2y = 3e^(-t) - 10cos(3t), y(0) = 1, y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
E as condições iniciais são e . Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, encontrar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular para os termos do lado direito.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos as raízes e .

Passo 3

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar mais adiante usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
A gente vai separar em duas partes: uma para e outra para .

Passo 5

Primeiro, vamos para o termo . Suponhamos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Então,

Passo 6

Agora, para o segundo termo , a solução particular será da forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Logo,
Então,

Passo 7

A solução particular total é a soma das duas soluções particulares encontradas:

Passo 8

Então, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 9

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo :
Segunda condição:
Primeiro, derivamos :
Substituindo :
Agora, temos o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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