Uma partícula se move ao longo da curva y^2 = 1 - x^2. Determine: (b) o espaço percorrido do ponto (raiz(2)/2, raiz(2)/2) ao ponto (-1, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o espaço percorrido por uma partícula que se move ao longo da curva , indo do ponto até o ponto . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a medir a distância percorrida ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Essa é a equação de um círculo com raio 1, centrado na origem, mas como está em , ela representa apenas a parte superior e inferior do círculo. Para facilitar, vamos resolver essa equação para :
Isso significa que temos duas funções: uma para a parte de cima do círculo e outra para a parte de baixo.

Passo 3

Como queremos ir de até , vamos considerar a parte da curva que liga esses pontos. Observando as coordenadas, vemos que está na parte superior do círculo. Portanto, vamos usar para calcular o comprimento do arco.

Passo 4

Para calcular o comprimento do arco de uma função entre e , usamos a fórmula:
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 5

Vamos encontrar para nossa função :

Passo 6

Agora, vamos substituir na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 7

A integral é uma integral padrão cujo resultado é , onde é a constante de integração. Portanto, o comprimento do arco é:

Passo 8

Agora, precisamos identificar os valores de e correspondentes aos pontos e .
  • Para , temos .
  • Para , temos .
Então, e .

Passo 9

Aplicando esses valores na fórmula do comprimento do arco:
Sabemos que e .
Substituindo:
Como o comprimento não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:

Resposta

O espaço percorrido pela partícula é unidades de comprimento.

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