Uma partícula se move ao longo da curva
. Determine: (b) o espaço percorrido do ponto
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o espaço percorrido por uma partícula que se move ao longo da curva
, indo do ponto
até o ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a medir a distância percorrida ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Essa é a equação de um círculo com raio 1, centrado na origem, mas como está em
, ela representa apenas a parte superior e inferior do círculo. Para facilitar, vamos resolver essa equação para
:
Isso significa que temos duas funções: uma para a parte de cima do círculo e outra para a parte de baixo.
Passo 3
Como queremos ir de
até
, vamos considerar a parte da curva que liga esses pontos. Observando as coordenadas, vemos que
está na parte superior do círculo. Portanto, vamos usar
para calcular o comprimento do arco.
Passo 4
Para calcular o comprimento do arco de uma função
entre
e
, usamos a fórmula:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Vamos encontrar
para nossa função
:
Passo 6
Agora, vamos substituir
na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 7
A integral
é uma integral padrão cujo resultado é
, onde
é a constante de integração. Portanto, o comprimento do arco é:
Passo 8
Agora, precisamos identificar os valores de
e
correspondentes aos pontos
e
.
- Para
, temos . - Para
, temos .
Então,
e
.
Passo 9
Aplicando esses valores na fórmula do comprimento do arco:
Sabemos que
e
.
Substituindo:
Como o comprimento não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:
Resposta
O espaço percorrido pela partícula é
unidades de comprimento.
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