Uma partícula move-se ao longo da curva
de modo que a componente horizontal da velocidade é sempre 2. Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração, ilustrando geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula ao longo da curva
para
, com a velocidade horizontal sempre sendo 2. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar as componentes tangencial e normal da aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a trajetória da partícula. A curva dada é
. Para achar a posição da partícula a qualquer instante, precisamos relacionar a posição
e
.
Passo 3
Sabemos que a componente horizontal da velocidade é
. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então
. Isso nos permite encontrar o tempo em função de
.
Passo 4
Integrando
em relação ao tempo, obtemos
. Se assumirmos que no tempo
,
(como
), então
. Assim,
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar
substituindo
na equação da curva:
Passo 6
A velocidade total
da partícula tem componentes
e
. Calculando
:
Então, a velocidade total é
.
Passo 7
Para encontrar a aceleração
, derivamos a velocidade em relação ao tempo:
Assim,
.
Passo 8
Agora, para encontrar as componentes tangencial
e normal
da aceleração, usamos as seguintes fórmulas:
Primeiro, vamos calcular o módulo da velocidade
:
Passo 9
Calculamos a derivada de
para encontrar
:
Passo 10
Para
, calculamos o produto vetorial
:
Então,
Resposta
As componentes da aceleração são:
e
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor inicial:
(d)
(d)
Verifique se a função
é contínua em em
.
Resolva os problemas de valor inicial:
(e)
(e)
Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
(b)
(b)