Uma partícula move-se ao longo da curva de modo que a componente horizontal da velocidade é sempre 2. Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração, ilustrando geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula ao longo da curva para , com a velocidade horizontal sempre sendo 2. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar as componentes tangencial e normal da aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a trajetória da partícula. A curva dada é . Para achar a posição da partícula a qualquer instante, precisamos relacionar a posição e .

Passo 3

Sabemos que a componente horizontal da velocidade é . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então . Isso nos permite encontrar o tempo em função de .

Passo 4

Integrando em relação ao tempo, obtemos . Se assumirmos que no tempo , (como ), então . Assim, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar substituindo na equação da curva:

Passo 6

A velocidade total da partícula tem componentes e . Calculando :
Então, a velocidade total é .

Passo 7

Para encontrar a aceleração , derivamos a velocidade em relação ao tempo:
Assim, .

Passo 8

Agora, para encontrar as componentes tangencial e normal da aceleração, usamos as seguintes fórmulas:
Primeiro, vamos calcular o módulo da velocidade :

Passo 9

Calculamos a derivada de para encontrar :

Passo 10

Para , calculamos o produto vetorial :
Então,

Resposta

As componentes da aceleração são:
e

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