Resolva os problemas de valor inicial:
(e) { 2 d2x/dt2 - 4 dx/dt + 2 x = 0, x(0) = 1, dx/dt(0) = 0 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem: , e duas condições iniciais: e . Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para achar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação característica. Para isso, substituímos por , por , e por 1. Assim, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla: .

Passo 4

Como a equação característica tem uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial será:
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, usamos :
Segundo, calculamos a derivada de :
Aplicando :
Sabemos que , então:

Passo 6

Substituindo e na solução geral:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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