Resolva os problemas de valor inicial:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
, e duas condições iniciais:
e
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para achar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação característica. Para isso, substituímos
por
,
por
, e
por 1. Assim, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla:
.
Passo 4
Como a equação característica tem uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial será:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, usamos
:
Segundo, calculamos a derivada de
:
Aplicando
:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
Exercícios relacionados
Uma partícula move-se ao longo da curva
de modo que a componente horizontal da velocidade é sempre 2. Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração, ilustrando geometricamente.
Resolva os problemas de valor inicial:
(d)
(d)
Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
(b)
(b)
Calcular a curvatura da circunferência de raio 4 centrada em
.