Uma partícula move-se ao longo do eixo
de acordo com a função
onde a posição
e o tempo
estão dados no Sistema Internacional de unidades.
(a) Calcule a posição, a velocidade instantânea e a aceleração instantânea em
s.
(b) Em que instante a partícula atinge o valor máximo de
? Calcule a posição e a aceleração instantânea da partícula nesse instante.
© Calcule o instante
em que a partícula retorna à posição
. Quanto vale sua aceleração neste instante?
(a) Calcule a posição, a velocidade instantânea e a aceleração instantânea em
(b) Em que instante a partícula atinge o valor máximo de
© Calcule o instante
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move ao longo do eixo
com a posição dada pela função
, onde
está em metros e
em segundos. Vamos precisar de cálculo diferencial para resolver as partes do exercício, especificamente para encontrar velocidade e aceleração instantâneas. Vamos resolver as alíneas (a), (b) e © passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Queremos calcular a posição, a velocidade instantânea e a aceleração instantânea da partícula em
s.
Primeiro, já temos a função da posição
.
Para encontrar a velocidade instantânea, precisamos derivar
em relação ao tempo
:
Já para a aceleração instantânea, derivamos a função da velocidade:
Agora, substituímos
s nas três expressões:
- Posição:
- Velocidade:
- Aceleração:
Passo 3
Parte (b): Queremos saber em que instante a partícula atinge o valor máximo de
, além de calcular a posição e a aceleração nesse instante.
Para encontrar o máximo de
, buscamos quando a velocidade
, já que o máximo ocorre quando a partícula para momentaneamente antes de mudar de direção.
Igualamos a velocidade a zero:
As soluções são
s e
s. Como estamos interessados em
, temos
s.
Agora, calculamos a posição e a aceleração em
s:
- Posição:
- Aceleração:
Passo 4
Parte ©: Precisamos encontrar o instante
em que a partícula retorna à posição
m e quanto vale a aceleração nesse instante.
Igualamos a função posição a zero:
As soluções são
s e
s. Ignorando
s, temos
s (aproximadamente 2,828 s).
Agora, calculamos a aceleração nesse instante:
Resposta
(a) Em
s, a posição é
m, a velocidade instantânea é
m/s e a aceleração instantânea é
m/s².
(b) A partícula atinge o valor máximo de
em
s, com posição
m e aceleração instantânea
m/s².
© A partícula retorna à posição
m em
s, com aceleração
m/s².
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