Uma partícula move-se ao longo do eixo de acordo com a função onde a posição e o tempo estão dados no Sistema Internacional de unidades.
(a) Calcule a posição, a velocidade instantânea e a aceleração instantânea em s.
(b) Em que instante a partícula atinge o valor máximo de ? Calcule a posição e a aceleração instantânea da partícula nesse instante.
© Calcule o instante em que a partícula retorna à posição . Quanto vale sua aceleração neste instante?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move ao longo do eixo com a posição dada pela função , onde está em metros e em segundos. Vamos precisar de cálculo diferencial para resolver as partes do exercício, especificamente para encontrar velocidade e aceleração instantâneas. Vamos resolver as alíneas (a), (b) e © passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Queremos calcular a posição, a velocidade instantânea e a aceleração instantânea da partícula em s.
Primeiro, já temos a função da posição .
Para encontrar a velocidade instantânea, precisamos derivar em relação ao tempo :
Já para a aceleração instantânea, derivamos a função da velocidade:
Agora, substituímos s nas três expressões:
  • Posição:
  • Velocidade:
  • Aceleração:
²

Passo 3

Parte (b): Queremos saber em que instante a partícula atinge o valor máximo de , além de calcular a posição e a aceleração nesse instante.
Para encontrar o máximo de , buscamos quando a velocidade , já que o máximo ocorre quando a partícula para momentaneamente antes de mudar de direção.
Igualamos a velocidade a zero:
As soluções são s e s. Como estamos interessados em , temos s.
Agora, calculamos a posição e a aceleração em s:
  • Posição:
  • Aceleração:
²

Passo 4

Parte ©: Precisamos encontrar o instante em que a partícula retorna à posição m e quanto vale a aceleração nesse instante.
Igualamos a função posição a zero:
As soluções são s e s. Ignorando s, temos s (aproximadamente 2,828 s).
Agora, calculamos a aceleração nesse instante:
²

Resposta

(a) Em s, a posição é m, a velocidade instantânea é m/s e a aceleração instantânea é m/s².
(b) A partícula atinge o valor máximo de em s, com posição m e aceleração instantânea m/s².
© A partícula retorna à posição m em s, com aceleração m/s².

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