Uma partícula move-se ao longo do eixo x de acordo com a função x(t)=16 t^2-2 t^4 onde a posição x e o tempo t estão dados no Sistema Internacional de unidades.
(a) Calcule a posição, a velocidade instantânea e a aceleração instantânea em t=1,0 s.
(b) Em que instante a partícula atinge o valor máximo de x ? Calcule a posição e a aceleração instantânea da partícula nesse instante.
© Calcule o instante t>0 s em que a partícula retorna à posição x=0 m. Quanto vale sua aceleração neste instante?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move ao longo do eixo com a posição dada pela função , onde está em metros e em segundos. Vamos precisar de cálculo diferencial para resolver as partes do exercício, especificamente para encontrar velocidade e aceleração instantâneas. Vamos resolver as alíneas (a), (b) e © passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Queremos calcular a posição, a velocidade instantânea e a aceleração instantânea da partícula em v(t) = dxdt = 32t - 8t^3 s.
Primeiro, já temos a função da posição a(t) = dvdt = 32 - 24t^2 .
Para encontrar a velocidade instantânea, precisamos derivar x(1) = 16(1)^2 - 2(1)^4 = 16 - 2 = 14 m em relação ao tempo v(1) = 32(1) - 8(1)^3 = 32 - 8 = 24 m/s :
a(1) = 32 - 24(1)^2 = 32 - 24 = 8 m/s²
Já para a aceleração instantânea, derivamos a função da velocidade:
Agora, substituímos s nas três expressões:
  • Posição:
  • Velocidade:
  • Aceleração:
²

Passo 3

Parte (b): Queremos saber em que instante a partícula atinge o valor máximo de 32t - 8t^3 = 0 8t(4 - t^2) = 0 , além de calcular a posição e a aceleração nesse instante.
Para encontrar o máximo de x(2) = 16(2)^2 - 2(2)^4 = 16 times 4 - 2 times 16 = 64 - 32 = 32 m , buscamos quando a velocidade a(2) = 32 - 24(2)^2 = 32 - 24 times 4 = 32 - 96 = -64 m/s² , já que o máximo ocorre quando a partícula para momentaneamente antes de mudar de direção.
Igualamos a velocidade a zero:
As soluções são s e s. Como estamos interessados em , temos s.
Agora, calculamos a posição e a aceleração em s:
  • Posição:
  • Aceleração:
²

Passo 4

Parte ©: Precisamos encontrar o instante 16t^2 - 2t^4 = 0 2t^2(8 - t^2) = 0 em que a partícula retorna à posição a(2raiz2) = 32 - 24(2raiz2)^2 = 32 - 24 times 8 = 32 - 192 = -160 m/s² m e quanto vale a aceleração nesse instante.
Igualamos a função posição a zero:
As soluções são s e s. Ignorando s, temos s (aproximadamente 2,828 s).
Agora, calculamos a aceleração nesse instante:
²

Resposta

(a) Em s, a posição é m, a velocidade instantânea é m/s e a aceleração instantânea é m/s².
(b) A partícula atinge o valor máximo de em s, com posição m e aceleração instantânea m/s².
© A partícula retorna à posição m em s, com aceleração m/s².

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