Uma partícula move-se ao longo do eixo
de acordo com a relação
, onde
é medido em metros e
é medido em segundos. Encontre os valores da velocidade
para
e 5 s .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $ com a posição dada por $ x = 6 - 6t + t^{2} $, onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade dessa partícula nos instantes de $ t = 1, 2, 3, 4 $ e $ 5 $ segundos. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada, que na física nos ajuda a encontrar a velocidade a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Em termos matemáticos, isso significa que a velocidade $ v(t) $ é a derivada da função posição $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $. Então, vamos derivar a expressão $ x = 6 - 6t + t^{2} $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de cada termo da função $ x(t) $:
- A derivada de $ 6 $ em relação a $ t $ é $ 0 $, porque é uma constante.
- A derivada de $ -6t $ em relação a $ t $ é $ -6 $.
- A derivada de $ t^{2} $ em relação a $ t $ é $ 2t $.
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora que temos a função da velocidade $ v(t) = -6 + 2t $, vamos calcular a velocidade nos diferentes instantes de tempo solicitados.
Para $ t = 1 $ segundo:
Passo 5
Para $ t = 2 $ segundos:
Passo 6
Para $ t = 3 $ segundos:
Passo 7
Para $ t = 4 $ segundos:
Passo 8
Para $ t = 5 $ segundos:
Resposta
As velocidades da partícula nos instantes de $ t = 1, 2, 3, 4 $ e $ 5 $ segundos são respectivamente: