A posição de uma partícula movendo-se ao longo do eixo
varia com o tempo
de acordo com a relação
, onde
é dado em metros e
em segundos. Encontre a velocidade e a aceleração da partícula como função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo x, e a posição dela em função do tempo é dada por $ x = t^{3} - 12t + 20 $. Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade e a aceleração dessa partícula em função do tempo. Para isso, vamos precisar usar o cálculo diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar como a posição muda ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é velocidade. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Em termos matemáticos, ela é a primeira derivada da função posição $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $. Então, vamos derivar $ x = t^{3} - 12t + 20 $ para encontrar a velocidade $ v(t) $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de cada termo da função posição:
- A derivada de $ t^{3} $ é $ 3t^{2} $ (usamos a regra do poder: $ \frac{d}{dt} t^{n} = nt^{n-1} $).
- A derivada de $ -12t $ é $ -12 $ (a derivada de uma constante multiplicada por $ t $ é apenas a constante).
- A derivada de $ 20 $ é $ 0 $ (a derivada de uma constante é zero).
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora que temos a velocidade, podemos encontrar a aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da função velocidade $ v(t) $. Vamos derivar $ v(t) = 3t^{2} - 12 $ para encontrar $ a(t) $.
Passo 5
Vamos calcular a derivada de cada termo da função velocidade:
- A derivada de $ 3t^{2} $ é $ 6t $ (usando a regra do poder novamente).
- A derivada de $ -12 $ é $ 0 $ (novamente, a derivada de uma constante é zero).
Então, a aceleração fica:
Resposta
A velocidade da partícula em função do tempo é $ v(t) = 3t^{2} - 12 $ metros por segundo, e a aceleração é $ a(t) = 6t $ metros por segundo ao quadrado.