Uma partícula move-se ao longo do eixo
de acordo com a relação
, onde
é medido em metros e
é medido em segundos. Para cada valor de
, indique se a partícula está se movendo em direção ao aumento ou diminuição de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $ seguindo a equação $ x = 6 - 6t + t^2 $, onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. Nosso objetivo é descobrir para cada valor de $ t $ se a partícula está se movendo na direção de aumento de $ x $ (pra frente) ou de diminuição de $ x $ (pra trás). Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, especificamente a derivada, que nos ajuda a saber a velocidade da partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função $ x(t) = 6 - 6t + t^2 $ em relação a $ t $:
Calculando cada termo:
Então, a velocidade fica:
Passo 3
Agora, pra saber se a partícula está indo pra frente ou pra trás, vamos analisar o sinal da velocidade $ v(t) $:
- Se $ v(t) > 0 $, a partícula está se movendo na direção de aumento de $ x $ (pra frente).
- Se $ v(t) < 0 $, está na direção de diminuição de $ x $ (pra trás).
- Se $ v(t) = 0 $, a partícula está momentaneamente parada.
Vamos resolver $ v(t) > 0 $:
Então, para $ t > 3 $ segundos, a velocidade é positiva, ou seja, a partícula está se movendo na direção de aumento de $ x $.
Para $ t < 3 $ segundos, a velocidade é negativa ($ v(t) < 0 $), então a partícula está se movendo na direção de diminuição de $ x $.
No instante $ t = 3 $ segundos, $ v(t) = 0 $, a partícula para momentaneamente.
Resposta
Para qualquer tempo $ t $:
- Se $ t < 3 $ segundos, a partícula está se movendo na direção de diminuição de $ x $.
- Se $ t > 3 $ segundos, está se movendo na direção de aumento de $ x $.
- No instante $ t = 3 $ segundos, a partícula está momentaneamente parada.