Uma partícula move-se ao longo do eixo x de acordo com a relação x=6-6 t+t^2, onde x é medido em metros e t é medido em segundos. Para cada valor de t, indique se a partícula está se movendo em direção ao aumento ou diminuição de x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $ seguindo a equação $ x = 6 - 6t + t^2 $, onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. Nosso objetivo é descobrir para cada valor de $ t $ se a partícula está se movendo na direção de aumento de $ x $ (pra frente) ou de diminuição de $ x $ (pra trás). Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, especificamente a derivada, que nos ajuda a saber a velocidade da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função $ x(t) = 6 - 6t + t^2 $ em relação a $ t $:
x(t) = 6 - 6t + t^2
Calculando cada termo:
t
Então, a velocidade fica:
v(t) = dxdt = ddt(6) - ddt(6t) + ddt(t^2)

Passo 3

Agora, pra saber se a partícula está indo pra frente ou pra trás, vamos analisar o sinal da velocidade $ v(t) $:
  • Se $ v(t) > 0 $, a partícula está se movendo na direção de aumento de $ x $ (pra frente).
  • Se $ v(t) < 0 $, está na direção de diminuição de $ x $ (pra trás).
  • Se $ v(t) = 0 $, a partícula está momentaneamente parada.
Vamos resolver $ v(t) > 0 $:
v(t)
Então, para $ t > 3 $ segundos, a velocidade é positiva, ou seja, a partícula está se movendo na direção de aumento de $ x $.
Para $ t < 3 $ segundos, a velocidade é negativa ($ v(t) < 0 $), então a partícula está se movendo na direção de diminuição de $ x $.
No instante $ t = 3 $ segundos, $ v(t) = 0 $, a partícula para momentaneamente.

Resposta

Para qualquer tempo $ t $:
  • Se $ t < 3 $ segundos, a partícula está se movendo na direção de diminuição de $ x $.
  • Se $ t > 3 $ segundos, está se movendo na direção de aumento de $ x $.
  • No instante $ t = 3 $ segundos, a partícula está momentaneamente parada.

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