Uma partícula em movimento retilíneo tem a função horária dada por s(t)=2 t^3-21 t^2+60 t+3. Considere o espaço medido em metros e o tempo em segundos. Determine:
Determine a aceleração da particula no instante t=4,5 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que está se movendo em linha reta, e a posição dela ao longo do tempo é dada pela função , onde está em metros e em segundos. Nosso objetivo aqui é encontrar a aceleração da partícula no instante segundos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo de derivadas, já que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade da partícula é a primeira derivada da função posição em relação ao tempo. Ou seja, se v(t) = ds(t)dt é a posição, então a velocidade é dada por:
Vamos calcular essa derivada para encontrar a expressão da velocidade.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de v(t) = ddt(2t^3) - ddt(21t^2) + ddt(60t) + ddt(3) :
v(t) = 6t^2 - 42t + 60
Calculando cada termo:
Então, a velocidade da partícula é .

Passo 4

Agora, para encontrar a aceleração, precisamos calcular a segunda derivada da posição, ou seja, a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt
Vamos calcular essa derivada:
a(t) = ddt(6t^2) - ddt(42t) + ddt(60)
Calculando cada termo:
a(t) = 12t - 42
Portanto, a aceleração da partícula é .

Passo 5

Agora que temos a expressão para a aceleração, podemos calcular o valor dela no instante a(4,5) = 12 times 4,5 - 42 segundos. Basta substituir a(4,5) = 54 - 42 = 12 , m/s^2 por 4,5 na equação da aceleração:
Calculando:

Resposta

A aceleração da partícula no instante segundos é de 12 metros por segundo ao quadrado.

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