Uma partícula em movimento retilíneo tem a função horária dada por
. Considere o espaço medido em metros e o tempo em segundos. Determine:
Determine a aceleração da particula no instante
.
Determine a aceleração da particula no instante
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que está se movendo em linha reta, e a posição dela ao longo do tempo é dada pela função
, onde
está em metros e
em segundos. Nosso objetivo aqui é encontrar a aceleração da partícula no instante
segundos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo de derivadas, já que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade da partícula é a primeira derivada da função posição em relação ao tempo. Ou seja, se
é a posição, então a velocidade
é dada por:
Vamos calcular essa derivada para encontrar a expressão da velocidade.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Calculando cada termo:
Então, a velocidade da partícula é
.
Passo 4
Agora, para encontrar a aceleração, precisamos calcular a segunda derivada da posição, ou seja, a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Vamos calcular essa derivada:
Calculando cada termo:
Portanto, a aceleração da partícula é
.
Passo 5
Agora que temos a expressão para a aceleração, podemos calcular o valor dela no instante
segundos. Basta substituir
por 4,5 na equação da aceleração:
Calculando:
Resposta
A aceleração da partícula no instante
segundos é de 12 metros por segundo ao quadrado.