Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta com velocidade v=(20-0,055^2) m / s, em que s é dado em metros. Determine a aceleração da partícula em s=15 m.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cinemática onde uma partícula está se movendo ao longo de uma linha reta. A velocidade da partícula é dada pela função , onde representa a posição em metros. Nosso objetivo é determinar a aceleração da partícula quando . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para relacionar velocidade e aceleração.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a aceleração a = dvdt = dvds cdot dsdt = dvds cdot v é a derivada da velocidade em relação ao tempo , ou seja, . No entanto, como a velocidade está expressa em função da posição , podemos usar a regra da cadeia para calcular a aceleração. A regra da cadeia nos diz que:

Passo 3

Vamos calcular a derivada de v(s) = 20 - 0,055s^2 em relação a dvds = dds(20 - 0,055s^2) = -0,11s , que é . A função dada é:
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, usando a expressão para a aceleração:
a = dvds cdot v = (-0,11s) cdot (20 - 0,055s^2)
Substituindo a = -0,11 times 15 times (20 - 0,055 times 15^2) :

Passo 5

Calculando passo a passo:
  1. Primeiro, calcule 0,055 times 225 = 12,375 :
    20 - 12,375 = 7,625
  2. Subtraia esse valor de 20:
    -0,11 times 15 = -1,65
  3. Multiplique por a = -1,65 times 7,625 = -12,58125 , m/s^2 :
  4. Finalmente, multiplique os resultados:

Resposta

A aceleração da partícula em é aproximadamente .

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