Uma partícula que se move em um movimento curvilíneo bidimensional tem coordenadas em milímetros que variam com o tempo em segundos de acordo com e . Determine as coordenadas centro de curvatura no tempo .
Resp: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move em um caminho curvo bidimensional, com as posições e , todas em milímetros, dependendo do tempo em segundos. Nosso objetivo aqui é descobrir as coordenadas do centro de curvatura nesse movimento quando segundo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática e cálculo para encontrar a curvatura do movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as coordenadas de milímetros para metros para facilitar os cálculos futuros. Sabemos que metro é igual a milímetros, então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de e em relação ao tempo para determinar a velocidade e a aceleração da partícula:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular as acelerações nas direções e :
Passo 5
Para encontrar o raio de curvatura no tempo , usamos a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada parte:
Primeiro, calculamos e :
Agora, substituímos na fórmula:
Simplificando:
Calculando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de curvatura . Para isso, usamos as seguintes fórmulas: