Uma partícula que se move em um movimento curvilíneo bidimensional tem coordenadas em milímetros que variam com o tempo t em segundos de acordo com x=2 t^2+3 t-1 e y=5 t-2. Determine as coordenadas centro de curvatura C no tempo t=1 s.
Resp: (xC, yC)=(22,5,-22,9) m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move em um caminho curvo bidimensional, com as posições e , todas em milímetros, dependendo do tempo em segundos. Nosso objetivo aqui é descobrir as coordenadas do centro de curvatura nesse movimento quando segundo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática e cálculo para encontrar a curvatura do movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas de milímetros para metros para facilitar os cálculos futuros. Sabemos que x(t) = 2t^2 + 3t - 11000 , m metro é igual a y(t) = 5t - 21000 , m milímetros, então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de vx(t) = dxdt = ddt(2t^2 + 3t - 11000) = 4t + 31000 , m/s e vy(t) = dydt = ddt(5t - 21000) = 51000 , m/s em relação ao tempo para determinar a velocidade e a aceleração da partícula:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular as acelerações nas direções ax(t) = d^2xdt^2 = ddt(4t + 31000) = 41000 , m/s^2 e ay(t) = d^2ydt^2 = ddt(51000) = 0 , m/s^2 :

Passo 5

Para encontrar o raio de curvatura R = [ (vx(t))^2 + (vy(t))^2 ]^3/2| vx(t) ay(t) - vy(t) ax(t) | no tempo vx(1) = 4(1) + 31000 = 71000 , m/s , usamos a seguinte fórmula:
vy(1) = 51000 , m/s
Vamos calcular cada parte:
Primeiro, calculamos R = ( (71000)^2 + (51000)^2 )^3/2| 71000 cdot 0 - 51000 cdot 41000 | e R = ( 4910^6 + 2510^6 )^3/2| -2010^6 | = ( 7410^6 )^3/22010^6 = ( raiz7410^6 )^32010^6 :
raiz7410^6 = raiz741000 approx 8.61000
( 8.61000 )^3 approx 636.05610^9 = 636.05610^9
Agora, substituímos na fórmula:
R approx 636.056 times 10^-920 times 10^-6 = 636.05620 times 10^-3 = 31.8028 times 10^-3 , m = 0.0318 , m
Simplificando:
Calculando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de curvatura xC = x(t) - R cdot vy(t)raizvx(t)^2 + vy(t)^2 . Para isso, usamos as seguintes fórmulas:
yC = y(t) + R cdot vx(t)raizvx(t)^2 + vy(t)^2
x(1) = 2(1)^2 + 3(1) - 11000 = 41000 = 0.004 , m
Calculando y(1) = 5(1) - 21000 = 31000 = 0.003 , m e xC = 0.004 - 0.0318 cdot 51000raiz(71000)^2 + (51000)^2 :
yC = 0.003 + 0.0318 cdot 71000raiz(71000)^2 + (51000)^2
raiz(71000)^2 + (51000)^2 = raiz4910^6 + 2510^6 = raiz7410^6 = 8.61000
Agora, substituindo na fórmula:
xC = 0.004 - 0.0318 cdot 0.0050.0086 approx 0.004 - 0.0318 cdot 0.5814 approx 0.004 - 0.0185 = -0.0145 , m
yC = 0.003 + 0.0318 cdot 0.0070.0086 approx 0.003 + 0.0318 cdot 0.81395 approx 0.003 + 0.0259 = 0.0289 , m
Calculando o denominador comum:
Substituindo:

Resposta

(xC, yC) = (-0.0145 , m, , 0.0289 , m)

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