Uma partícula se move em um plano de acordo o vetor posição.
(b) (Valor: 1,0) Determine o módulo do vetor velocidade em função do tempo.
Passo 1
Bom, vamos lá! O enunciado nos dá a posição de uma partícula em um plano como uma função do tempo, usando vetores. A matéria aqui é cálculo vetorial, especificamente velocidade vetorial. Para encontrar o módulo da velocidade, precisamos primeiro derivar o vetor posição em relação ao tempo para obter o vetor velocidade e depois calcular o comprimento desse vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade, que é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Temos:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, para encontrar o módulo da velocidade, usamos a fórmula do comprimento de um vetor:
Substituindo os componentes que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, fatoramos
:
Isso fica:
Passo 5
Expandindo os quadrados dentro da raiz:
Somando esses dois resultados:
Passo 6
Sabemos que , então:
Portanto:
Resposta
O módulo do vetor velocidade em função do tempo é:
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Uma partícula se move em um plano de acordo o vetor posição.
(a) (Valor: 1,0) Determine o vetor velocidade e o vetor aceleração em função do tempo.
(b) (Valor: 1,0) Determine o módulo do vetor velocidade em função do tempo.
Resolva a equação da órbita para o caso em que a força é nula
. Mostre que sua solução está de acordo com a primeira lei de Newton.
Uma partícula se move em uma órbita circular sob a influência da força central atrativa
. Mostre que se
decresce repentinamente para a metade de seu valor original, a órbita da partícula se torna parabólica.