Uma partícula se move em um plano de acordo o vetor posição.
r(t)=[e^t cos (t)] widehati+[e^t sen(t)] widehatj
(b) (Valor: 1,0) Determine o módulo do vetor velocidade em função do tempo.

Passo 1

Bom, vamos lá! O enunciado nos dá a posição de uma partícula em um plano como uma função do tempo, usando vetores. A matéria aqui é cálculo vetorial, especificamente velocidade vetorial. Para encontrar o módulo da velocidade, precisamos primeiro derivar o vetor posição em relação ao tempo para obter o vetor velocidade e depois calcular o comprimento desse vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade, que é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Temos:
Derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, para encontrar o módulo da velocidade, usamos a fórmula do comprimento de um vetor:
|v(t)| = raiz(vx(t))^2 + (vy(t))^2
Substituindo os componentes que encontramos:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, fatoramos e^t:
Isso fica:

Passo 5

Expandindo os quadrados dentro da raiz:
Somando esses dois resultados:

Passo 6

Sabemos que , então:
Portanto:
cos^2(t) + sen^2(t) = 1

Resposta

O módulo do vetor velocidade em função do tempo é:
|v(t)| = raiz2 , e^t

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