Uma partícula se move em uma órbita cuja a trajetória é descrita pelo seguinte vetor posição
© Encontre a velocidade e a aceleração para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão! A gente tem uma partícula que se move numa trajetória descrita pelo vetor posição:
O que a gente precisa fazer é encontrar a velocidade e a aceleração dessa partícula no tempo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas, já que velocidade é a derivada do vetor posição e aceleração é a derivada do vetor velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente do vetor posição:
Passo 3
Vamos derivar cada termo separadamente. Lembre-se que a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Então:
Passo 4
Agora, juntando essas derivadas, temos o vetor velocidade:
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo:
Passo 6
Derivando cada componente da velocidade:
Passo 7
Então, o vetor aceleração fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular a velocidade e a aceleração no tempo
. Primeiro, vamos substituir
nas expressões.
Para a velocidade:
Simplificando os argumentos:
Então:
Sabemos que
e
, então:
Passo 9
Agora, para a aceleração:
Simplificando os argumentos:
Então:
Como
e
:
Resposta
No tempo
, a velocidade da partícula é
e a aceleração é
.