Uma partícula se move em uma órbita cuja a trajetória é descrita pelo seguinte vetor posição
r=4 a cos (2 omega t) i+4 a sen(2 omega t) j
© Encontre a velocidade e a aceleração para t=pi / 4 omega.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! A gente tem uma partícula que se move numa trajetória descrita pelo vetor posição:
r=4 a cos (2 omega t) i+4 a sin(2 omega t) j
O que a gente precisa fazer é encontrar a velocidade e a aceleração dessa partícula no tempo t = pi / (4 omega). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas, já que velocidade é a derivada do vetor posição e aceleração é a derivada do vetor velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente do vetor posição:
v = drdt = ddt [4 a cos (2 omega t) i + 4 a sin(2 omega t) j]

Passo 3

Vamos derivar cada termo separadamente. Lembre-se que a derivada de cos(u) é - sin(u) cdot dudt e a derivada de sin(u) é cos(u) cdot dudt.
Então:
ddt [4 a cos (2 omega t)] = -4 a sin(2 omega t) cdot 2 omega = -8 a omega sin(2 omega t)
ddt [4 a sin(2 omega t)] = 4 a cos(2 omega t) cdot 2 omega = 8 a omega cos(2 omega t)

Passo 4

Agora, juntando essas derivadas, temos o vetor velocidade:
v = -8 a omega sin(2 omega t) i + 8 a omega cos(2 omega t) j

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo:
a = dvdt = ddt [-8 a omega sin(2 omega t) i + 8 a omega cos(2 omega t) j]

Passo 6

Derivando cada componente da velocidade:
ddt [-8 a omega sin(2 omega t)] = -8 a omega cos(2 omega t) cdot 2 omega = -16 a omega^2 cos(2 omega t)
ddt [8 a omega cos(2 omega t)] = -8 a omega sin(2 omega t) cdot 2 omega = -16 a omega^2 sin(2 omega t)

Passo 7

Então, o vetor aceleração fica:
a = -16 a omega^2 cos(2 omega t) i -16 a omega^2 sin(2 omega t) j

Passo 8

Agora, vamos calcular a velocidade e a aceleração no tempo t = pi / (4 omega). Primeiro, vamos substituir t nas expressões.
Para a velocidade:
v = -8 a omega sin(2 omega cdot pi4 omega) i + 8 a omega cos(2 omega cdot pi4 omega) j
Simplificando os argumentos:
2 omega cdot pi4 omega = pi2
Então:
v = -8 a omega sin(pi2) i + 8 a omega cos(pi2) j
Sabemos que sin(pi/2) = 1 e cos(pi/2) = 0, então:
v = -8 a omega cdot 1 i + 8 a omega cdot 0 j = -8 a omega i

Passo 9

Agora, para a aceleração:
a = -16 a omega^2 cos(2 omega cdot pi4 omega) i -16 a omega^2 sin(2 omega cdot pi4 omega) j
Simplificando os argumentos:
2 omega cdot pi4 omega = pi2
Então:
a = -16 a omega^2 cos(pi2) i -16 a omega^2 sin(pi2) j
Como cos(pi/2) = 0 e sin(pi/2) = 1:
a = -16 a omega^2 cdot 0 i -16 a omega^2 cdot 1 j = -16 a omega^2 j

Resposta

No tempo t = pi / (4 omega), a velocidade da partícula é v = -8 a omega i e a aceleração é a = -16 a omega^2 j.

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