Uma partícula se move em um plano de acordo o vetor posição.
r(t)=[e^t cos (t)] widehati+[e^t sen(t)] widehatj
(a) (Valor: 1,0) Determine o vetor velocidade e o vetor aceleração em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move num plano, e a gente tem a posição dela representada por um vetor que depende do tempo. Isso está dentro do estudo de cinemática, que trata dos movimentos sem se preocupar com as causas. Para resolver, vamos precisar derivar o vetor posição para encontrar a velocidade e derivar a velocidade para achar a aceleração. Então, vamos calcular essas derivadas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Nosso vetor posição é:
r(t) = e^t cos(t) , widehati + e^t sin(t) , widehatj
Vamos derivar cada componente:
Para a componente ddt(e^t cos(t)) = e^t cos(t) - e^t sin(t) :
ddt(e^t sin(t)) = e^t sin(t) + e^t cos(t)
(Usamos a regra do produto: derivada de v(t) = ( e^t cos(t) - e^t sin(t) ) widehati + ( e^t sin(t) + e^t cos(t) ) widehatj é e derivada de é )
Para a componente :
(Aqui também usamos a regra do produto: derivada de é e derivada de é )
Então, o vetor velocidade fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração. A aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar cada componente da velocidade:
Para a componente ddt(e^t cos(t) - e^t sin(t)) = e^t cos(t) - e^t sin(t) - e^t sin(t) - e^t cos(t) da velocidade:
= -2 e^t sin(t)
Simplificando:
ddt(e^t sin(t) + e^t cos(t)) = e^t sin(t) + e^t cos(t) + e^t cos(t) - e^t sin(t)
Para a componente = 2 e^t cos(t) da velocidade:
a(t) = -2 e^t sin(t) , widehati + 2 e^t cos(t) , widehatj
Simplificando:
Então, o vetor aceleração fica:

Resposta

O vetor velocidade e o vetor aceleração em função do tempo são, respectivamente:
v(t) = ( e^t cos(t) - e^t sin(t) ) widehati + ( e^t sin(t) + e^t cos(t) ) widehatj
e
a(t) = -2 e^t sin(t) , widehati + 2 e^t cos(t) , widehatj

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