Uma partícula move-se no plano e a sua posição ( r em metros) em função do tempo ( t em segundos) é descrita pela função vetorial r(t)=(t^3,-5 t^2+20 t). Calcule:
A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t=0 e t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de uma partícula no plano dada pela função vetorial , e precisa calcular a velocidade média e a aceleração média entre os instantes e segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as definições de velocidade e aceleração médias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade média. A velocidade média é definida como a variação da posição dividida pelo intervalo de tempo considerado. Matematicamente, isso é dado por:
vmédia = r(t2) - r(t1)t2 - t1 é
No nosso caso, e segundos. Vamos calcular e .

Passo 3

Calculando r(2) = (2^3, -5 cdot 2^2 + 20 cdot 2) = (8, -20 + 40) = (8, 20) :
r(0) = (0^3, -5 cdot 0^2 + 20 cdot 0) = (0, 0)
E :

Passo 4

Agora, vamos calcular a variação da posi��ão:
r(2) - r(0) = (8 - 0, 20 - 0) = (8, 20)
Dividindo essa variação pelo intervalo de tempo vmédia = (8, 20)2 = (4, 10) , m/s segundos, temos:
é

Passo 5

Agora, vamos calcular a aceleração média. A aceleração média é definida como a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Para isso, primeiro precisamos encontrar as velocidades nos instantes v(t) = dr(t)dt = (ddt t^3, ddt (-5 t^2 + 20 t)) = (3 t^2, -10 t + 20) e v(2) = (3 cdot 2^2, -10 cdot 2 + 20) = (12, 0) , m/s .
A velocidade v(0) = (3 cdot 0^2, -10 cdot 0 + 20) = (0, 20) , m/s é a derivada da posição em relação ao tempo:
Calculando :
E :

Passo 6

Agora, calculamos a variação da velocidade:
v(2) - v(0) = (12 - 0, 0 - 20) = (12, -20)
Dividindo essa variação pelo intervalo de tempo amédia = (12, -20)2 = (6, -10) , m/s^2 segundos, temos:
é

Resposta

A velocidade média entre e segundos é é e a aceleração média é é.

Exercícios relacionados