Uma partícula move-se no plano e a sua posição (
em metros) em função do tempo (
em segundos) é descrita pela função vetorial
. Calcule:
A velocidade média e a aceleração média entre os instantes
e
.
A velocidade média e a aceleração média entre os instantes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de uma partícula no plano dada pela função vetorial
, e precisa calcular a velocidade média e a aceleração média entre os instantes
e
segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as definições de velocidade e aceleração médias.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade média. A velocidade média é definida como a variação da posição dividida pelo intervalo de tempo considerado. Matematicamente, isso é dado por:
No nosso caso,
e
segundos. Vamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando
:
E
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a variação da posi��ão:
Dividindo essa variação pelo intervalo de tempo
segundos, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a aceleração média. A aceleração média é definida como a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Para isso, primeiro precisamos encontrar as velocidades nos instantes
e
.
A velocidade
é a derivada da posição em relação ao tempo:
Calculando
:
E
:
Passo 6
Agora, calculamos a variação da velocidade:
Dividindo essa variação pelo intervalo de tempo
segundos, temos:
Resposta
A velocidade média entre
e
segundos é
e a aceleração média é
.