Uma partícula move-se no plano e a sua posição ( em metros) em função do tempo ( em segundos) é descrita pela função vetorial . Calcule:
A velocidade média e a aceleração média entre os instantes e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de uma partícula no plano dada pela função vetorial , e precisa calcular a velocidade média e a aceleração média entre os instantes e segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as definições de velocidade e aceleração médias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade média. A velocidade média é definida como a variação da posição dividida pelo intervalo de tempo considerado. Matematicamente, isso é dado por:
é
No nosso caso, e segundos. Vamos calcular e .

Passo 3

Calculando :
E :

Passo 4

Agora, vamos calcular a variação da posi��ão:
Dividindo essa variação pelo intervalo de tempo segundos, temos:
é

Passo 5

Agora, vamos calcular a aceleração média. A aceleração média é definida como a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Para isso, primeiro precisamos encontrar as velocidades nos instantes e .
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Calculando :
E :

Passo 6

Agora, calculamos a variação da velocidade:
Dividindo essa variação pelo intervalo de tempo segundos, temos:
é

Resposta

A velocidade média entre e segundos é é e a aceleração média é é.

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