Uma partícula se movimenta sob a ação de uma força central do tipo F=r F(r).
a) Mostre que o rotacional de F se anula independentemente da função F(r);

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma partícula que está se movendo sob a ação de uma força central, ou seja, uma força que depende apenas da distância r até o centro e aponta na direção radial. A força é dada por F = r F(r). Nosso objetivo aqui é mostrar que o rotacional dessa força, representado por nabla times F, é igual a zero, independentemente da função F(r). Para isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional de um campo vetorial e aplicar isso ao caso de uma força central.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, nabla times F, mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. Se o rotacional for zero, isso significa que o campo não possui essa tendência de rotação localmente.

Passo 3

Agora, vamos analisar a força central F = r F(r). Aqui, r é o vetor unitário na direção radial, ou seja, aponta diretamente para longe ou para o centro, dependendo do sinal de F(r). Como F sempre aponta na direção radial e sua magnitude depende apenas de r, ela não tem componentes angulares, apenas uma componente radial.

Passo 4

Para calcular o rotacional em coordenadas cartesianas, precisaríamos expandir F em termos das componentes x, y e z, o que pode ser complicado. Em vez disso, vamos usar as coordenadas esféricas, que são mais naturais para esse tipo de problema.

Passo 5

Em coordenadas esféricas, o rotacional de um campo vetorial que depende somente de r e está na direção radial simplifica muito. A fórmula geral do rotacional em coordenadas esféricas tem várias componentes, mas, para um campo que só tem componente radial e depende apenas de r, todas as componentes do rotacional acabam sendo zero.

Passo 6

Isso acontece porque não há variação das componentes angulares da força (já que elas são nulas) e a única variação é radial, que não contribui para o rotacional quando a direção é estritamente radial. Portanto, independentemente de como F(r) varia com r, o rotacional de F será sempre zero.

Resposta

Assim, mostramos que o rotacional de uma força central F = r F(r) é sempre nulo, ou seja, nabla times F = 0, independentemente da função F(r).

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