Uma partícula se movimenta sob a ação de uma força central do tipo
.
a) Mostre que o rotacional de
se anula independentemente da função
;
a) Mostre que o rotacional de
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma partícula que está se movendo sob a ação de uma força central, ou seja, uma força que depende apenas da distância . Nosso objetivo aqui é mostrar que o rotacional dessa força, representado por
, é igual a zero, independentemente da função
. Para isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional de um campo vetorial e aplicar isso ao caso de uma força central.
r
até o centro e aponta na direção radial. A força é dada por
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional,
, mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. Se o rotacional for zero, isso significa que o campo não possui essa tendência de rotação localmente.
Passo 3
Agora, vamos analisar a força central
. Aqui,
é o vetor unitário na direção radial, ou seja, aponta diretamente para longe ou para o centro, dependendo do sinal de
. Como
sempre aponta na direção radial e sua magnitude depende apenas de
r
, ela não tem componentes angulares, apenas uma componente radial.Passo 4
Para calcular o rotacional em coordenadas cartesianas, precisaríamos expandir
em termos das componentes
,
e
, o que pode ser complicado. Em vez disso, vamos usar as coordenadas esféricas, que são mais naturais para esse tipo de problema.
Passo 5
Em coordenadas esféricas, o rotacional de um campo vetorial que depende somente de
e está na direção radial simplifica muito. A fórmula geral do rotacional em coordenadas esféricas tem várias componentes, mas, para um campo que só tem componente radial e depende apenas de
, todas as componentes do rotacional acabam sendo zero.
Passo 6
Isso acontece porque não há variação das componentes angulares da força (já que elas são nulas) e a única variação é radial, que não contribui para o rotacional quando a direção é estritamente radial. Portanto, independentemente de como
varia com
, o rotacional de
será sempre zero.
Resposta
Assim, mostramos que o rotacional de uma força central
é sempre nulo, ou seja,
, independentemente da função
.
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Partindo da equação da trajetória (eq. 3), mostre que o projétil alcançará sua altura máxima em
Dica: Faça
.
Uma partícula se movimenta sob a ação de uma força central do tipo
.
f) Mostre que
f) Mostre que
Como podemos interpretar esta equação?
Uma partícula se move sob a ação de uma força central do tipo
b) Para o caso
e
, mostre que o valor mínimo do potencial efetivo ocorre em
e vale