Uma partícula se movimenta sob a ação de uma força central do tipo .
a) Mostre que o rotacional de se anula independentemente da função ;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma partícula que está se movendo sob a ação de uma força central, ou seja, uma força que depende apenas da distância r até o centro e aponta na direção radial. A força é dada por . Nosso objetivo aqui é mostrar que o rotacional dessa força, representado por , é igual a zero, independentemente da função . Para isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional de um campo vetorial e aplicar isso ao caso de uma força central.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, , mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. Se o rotacional for zero, isso significa que o campo não possui essa tendência de rotação localmente.

Passo 3

Agora, vamos analisar a força central . Aqui, é o vetor unitário na direção radial, ou seja, aponta diretamente para longe ou para o centro, dependendo do sinal de . Como sempre aponta na direção radial e sua magnitude depende apenas de r, ela não tem componentes angulares, apenas uma componente radial.

Passo 4

Para calcular o rotacional em coordenadas cartesianas, precisaríamos expandir em termos das componentes , e , o que pode ser complicado. Em vez disso, vamos usar as coordenadas esféricas, que são mais naturais para esse tipo de problema.

Passo 5

Em coordenadas esféricas, o rotacional de um campo vetorial que depende somente de e está na direção radial simplifica muito. A fórmula geral do rotacional em coordenadas esféricas tem várias componentes, mas, para um campo que só tem componente radial e depende apenas de , todas as componentes do rotacional acabam sendo zero.

Passo 6

Isso acontece porque não há variação das componentes angulares da força (já que elas são nulas) e a única variação é radial, que não contribui para o rotacional quando a direção é estritamente radial. Portanto, independentemente de como varia com , o rotacional de será sempre zero.

Resposta

Assim, mostramos que o rotacional de uma força central é sempre nulo, ou seja, , independentemente da função .

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