Usando o fato de que o vetor tangente unitário
pode ser expresso como
encontre uma expressão para o vetor normal unitário em termos de
, e
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos o vetor tangente unitário
, que é dado pela relação
, onde
é o vetor velocidade e
é a sua magnitude (ou seja, a velocidade escalar). A matéria envolvida aqui é o movimento vetorial, especificamente a decomposição da aceleração em componentes tangenciais e normais. Para resolver o exercício, vamos precisar entender como expressar o vetor normal unitário
em termos da aceleração
, sua magnitude
, o vetor velocidade
, sua magnitude
, e a derivada de
em relação ao tempo,
.
Passo 2
Sabemos que a aceleração total
pode ser decomposta em duas componentes: uma tangencial, que está na direção de
, e uma normal, que está na direção de
. Essa decomposição é dada por:
Aqui,
é a taxa de variação da velocidade escalar (componente tangencial da aceleração) e
é a componente normal da aceleração.
Passo 3
Queremos expressar o vetor normal unitário
. Para isso, isolamos
na equação acima:
Para encontrar uma expressão completa, precisamos relacionar
com os outros termos conhecidos.
Passo 4
A magnitude da aceleração total
pode ser expressa pelo teorema de Pitágoras nas componentes tangencial e normal:
Isolando
, temos:
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Esse é o vetor normal unitário expresso em termos dos vetores e grandezas fornecidos.
Resposta
A expressão para o vetor normal unitário é: