Usando o fato de que o vetor tangente unitário tau pode ser expresso como
tau=vv
encontre uma expressão para o vetor normal unitário em termos de a, a, v, v, e dotv.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos o vetor tangente unitário tau, que é dado pela relação tau = vv, onde v é o vetor velocidade e v é a sua magnitude (ou seja, a velocidade escalar). A matéria envolvida aqui é o movimento vetorial, especificamente a decomposição da aceleração em componentes tangenciais e normais. Para resolver o exercício, vamos precisar entender como expressar o vetor normal unitário n em termos da aceleração a, sua magnitude a, o vetor velocidade v, sua magnitude v, e a derivada de v em relação ao tempo, dotv.

Passo 2

Sabemos que a aceleração total a pode ser decomposta em duas componentes: uma tangencial, que está na direção de tau, e uma normal, que está na direção de n. Essa decomposição é dada por:
a = dotv tau + an n
Aqui, dotv é a taxa de variação da velocidade escalar (componente tangencial da aceleração) e an é a componente normal da aceleração.

Passo 3

Queremos expressar o vetor normal unitário n. Para isso, isolamos n na equação acima:
n = a - dotv tauan
Para encontrar uma expressão completa, precisamos relacionar an com os outros termos conhecidos.

Passo 4

A magnitude da aceleração total a pode ser expressa pelo teorema de Pitágoras nas componentes tangencial e normal:
a = raizdotv^2 + an^2
Isolando an, temos:
an = raiza^2 - dotv^2

Passo 5

Substituindo an na expressão de n:
n = a - dotv tauraiza^2 - dotv^2
Esse é o vetor normal unitário expresso em termos dos vetores e grandezas fornecidos.

Resposta

A expressão para o vetor normal unitário é:
n = a - dotv tauraiza^2 - dotv^2

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