Usando o fato de que o vetor tangente unitário pode ser expresso como
encontre uma expressão para o vetor normal unitário em termos de , e .

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos o vetor tangente unitário , que é dado pela relação , onde é o vetor velocidade e é a sua magnitude (ou seja, a velocidade escalar). A matéria envolvida aqui é o movimento vetorial, especificamente a decomposição da aceleração em componentes tangenciais e normais. Para resolver o exercício, vamos precisar entender como expressar o vetor normal unitário em termos da aceleração , sua magnitude , o vetor velocidade , sua magnitude , e a derivada de em relação ao tempo, .

Passo 2

Sabemos que a aceleração total pode ser decomposta em duas componentes: uma tangencial, que está na direção de , e uma normal, que está na direção de . Essa decomposição é dada por:
Aqui, é a taxa de variação da velocidade escalar (componente tangencial da aceleração) e é a componente normal da aceleração.

Passo 3

Queremos expressar o vetor normal unitário . Para isso, isolamos na equação acima:
Para encontrar uma expressão completa, precisamos relacionar com os outros termos conhecidos.

Passo 4

A magnitude da aceleração total pode ser expressa pelo teorema de Pitágoras nas componentes tangencial e normal:
Isolando , temos:

Passo 5

Substituindo na expressão de :
Esse é o vetor normal unitário expresso em termos dos vetores e grandezas fornecidos.

Resposta

A expressão para o vetor normal unitário é:

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