Usando o fato de que o vetor tangente unitário
pode ser expresso como
encontre uma expressão para o vetor normal unitário em termos de
, e
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos o vetor tangente unitário
, que é dado pela relação
, onde
é o vetor velocidade e
é a sua magnitude (ou seja, a velocidade escalar). A matéria envolvida aqui é o movimento vetorial, especificamente a decomposição da aceleração em componentes tangenciais e normais. Para resolver o exercício, vamos precisar entender como expressar o vetor normal unitário
em termos da aceleração
, sua magnitude
, o vetor velocidade
, sua magnitude
, e a derivada de
em relação ao tempo,
.
Passo 2
Sabemos que a aceleração total
pode ser decomposta em duas componentes: uma tangencial, que está na direção de
, e uma normal, que está na direção de
. Essa decomposição é dada por:
Aqui,
é a taxa de variação da velocidade escalar (componente tangencial da aceleração) e
é a componente normal da aceleração.
Passo 3
Queremos expressar o vetor normal unitário
. Para isso, isolamos
na equação acima:
Para encontrar uma expressão completa, precisamos relacionar
com os outros termos conhecidos.
Passo 4
A magnitude da aceleração total
pode ser expressa pelo teorema de Pitágoras nas componentes tangencial e normal:
Isolando
, temos:
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Esse é o vetor normal unitário expresso em termos dos vetores e grandezas fornecidos.
Resposta
A expressão para o vetor normal unitário é:
Exercícios relacionados
Prove que
e como consequência que para uma partícula que se move
são perpendiculares entre sí se a velocidade escalar
for constante. (Sugestão: Diferencie ambos os lados da equação
com relação a
. Lembre-se que
não é o mesmo que |ạ|.)
Uma partícula se move numa trajetória helicoidal tal que sua posição, em coordenadas cilíndricas, é dada por
Encontre a velocidade escalar e o módulo da aceleração como funções do tempo.
Duas lentes convergentes estão separadas por uma distância
. A L1 tem uma distância focal de
e L2, de
. Um objeto é colocado a
na frente da lente L1. Encontre a posição final da imagem e a ampliação lateral.
A que distância de uma lente negativa (divergente), com distância focal de
deve estar um objeto, para garantir que o tamanho da imagem seja 10 vezes menor que o tamanho do objeto? A que distância da lente a imagem estará localizada?