Uma partícula move-se com uma velocidade de v(t) m/s ao longo de um eixo s. Ache o deslocamento e a distância percorrida pela partícula, durante o intervalo de tempo dado.
b) v(t) = cos(t), π/2 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma partícula que está se movendo ao longo de um eixo com uma velocidade que varia com o tempo, dada por . A gente precisa descobrir duas coisas: o deslocamento da partícula e a distância percorrida por ela no intervalo de tempo de até . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente integração de funções de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é deslocamento. O deslocamento é simplesmente a mudança na posição da partícula durante o intervalo de tempo considerado. Matematicamente, a gente encontra isso integrando a função de velocidade em relação ao tempo .

Passo 3

Então, para encontrar o deslocamento , vamos calcular a integral de de até :
Vamos resolver essa integral:
O deslocamento é metro, o que significa que a partícula terminou 1 metro antes da posição inicial.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre a distância percorrida. Diferente do deslocamento, a distância considera todo o caminho percorrido, sem levar em conta a direção. Para calcular a distância, precisamos integrar o valor absoluto da velocidade, ou seja, .

Passo 5

Primeiro, vamos identificar onde a função muda de sinal no intervalo até . Sabemos que quando e .
Então, dividimos o intervalo em duas partes:
  1. De a , onde é negativa.
  2. De a , onde é positiva.
Agora, calculamos a integral do valor absoluto da velocidade:
â
Simplificando, como é negativa no primeiro intervalo e positiva no segundo:
â
Calculando as integrais:
â
Sabendo que , e :
â

Resposta

O deslocamento da partícula é de metro e a distância percorrida por ela é de metros no intervalo de tempo dado.

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