Resolva as integrais abaixo.
38)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve cálculo de integrais, especificamente usando substituição e partes. Vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar a integral antes de aplicar a integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Então, derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando, ficamos com:
Passo 4
Mas ainda temos
em termos de
. Como
, podemos expressar
como
. Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
em relação a
. Vamos usar a técnica de integração por partes, que diz:
Vamos escolher:
Passo 6
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Passo 7
Agora, precisamos integrar
novamente usando integração por partes. Escolhemos:
Passo 8
Aplicando integração por partes novamente:
Passo 9
Voltando para a expressão anterior:
Passo 10
Agora, substituímos
de volta:
Passo 11
Finalmente, adicionamos a constante de integração
:
Resposta
A integral
é igual a: