Resolva as integrais abaixo.
38) integral 3 x^8 cos x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 3 x^8 cos x^3 , dx. Esse exercício envolve cálculo de integrais, especificamente usando substituição e partes. Vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar a integral antes de aplicar a integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = x^3. Então, derivando ambos os lados em relação a x, temos:
du = 3x^2 dx Rightarrow dx = du3x^2

Passo 3

Agora, vamos substituir u e dx na integral original:
integral 3x^8 cos x^3 dx = integral 3x^8 cos u cdot du3x^2 = integral x^6 cos u , du
Simplificando, ficamos com:
integral x^6 cos u , du

Passo 4

Mas ainda temos x^6 em termos de u. Como u = x^3, podemos expressar x^6 como (x^3)^2 = u^2. Então, a integral fica:
integral u^2 cos u , du

Passo 5

Agora, precisamos integrar u^2 cos u em relação a u. Vamos usar a técnica de integração por partes, que diz:
integral v , dw = vw - integral w , dv
Vamos escolher:
v = u^2 Rightarrow dv = 2u , du
dw = cos u , du Rightarrow w = sin u

Passo 6

Aplicando integração por partes:
integral u^2 cos u , du = u^2 sin u - integral sin u cdot 2u , du
Simplificando:
u^2 sin u - 2 integral u sin u , du

Passo 7

Agora, precisamos integrar integral u sin u , du novamente usando integração por partes. Escolhemos:
v = u Rightarrow dv = du
dw = sin u , du Rightarrow w = -cos u

Passo 8

Aplicando integração por partes novamente:
integral u sin u , du = -u cos u + integral cos u , du = -u cos u + sin u

Passo 9

Voltando para a expressão anterior:
integral u^2 cos u , du = u^2 sin u - 2(-u cos u + sin u) = u^2 sin u + 2u cos u - 2 sin u

Passo 10

Agora, substituímos u = x^3 de volta:
u^2 sin u + 2u cos u - 2 sin u = x^6 sin x^3 + 2x^3 cos x^3 - 2 sin x^3

Passo 11

Finalmente, adicionamos a constante de integração C:
x^6 sin x^3 + 2x^3 cos x^3 - 2 sin x^3 + C

Resposta

A integral integral 3 x^8 cos x^3 , dx é igual a:
x^6 sin x^3 + 2x^3 cos x^3 - 2 sin x^3 + C

Exercícios relacionados

Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
Calcule a derivada de f(t) = t^2 arccosec(2t + 3)
Uma partícula move-se com uma velocidade de v(t) m/s ao longo de um eixo s. Ache o deslocamento e a distância percorrida pela partícula, durante o intervalo de tempo dado.
b) v(t) = cos(t), π/2 <= t <= 2 pi.
Uma partícula move-se com uma velocidade de v(t) m/s ao longo de um eixo s. Ache o deslocamento e a distância percorrida pela partícula, durante o intervalo de tempo dado.
a) v(t) = sen(t), 0 <= t <= pi/2.
Nos problemas 31-42, resolva a equação diferencial dada sujeita a condição inicial indicada.
y^3 dx = 2 x^3 dy - 2 x^2 dx, y(1) = raiz(2)