Uma partícula move-se com uma velocidade de v(t) m/s ao longo de um eixo s. Ache o deslocamento e a distância percorrida pela partícula, durante o intervalo de tempo dado.
a) v(t) = sen(t), 0 <= t <= pi/2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma partícula se move com uma velocidade de m/s ao longo de um eixo , no intervalo de tempo de a segundos. Nosso objetivo aqui é encontrar dois valores importantes: o deslocamento e a distância percorrida pela partícula nesse intervalo. Para isso, vamos precisar entender como integrar a função de velocidade para obter o deslocamento e, em seguida, calcular a distância.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre deslocamento. Deslocamento é basicamente a mudança de posição da partícula, considerando a direção. Para encontrar o deslocamento, precisamos integrar a função da velocidade em relação ao tempo no intervalo dado. A fórmula é:
Onde e são os limites do intervalo de tempo, nesse caso, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral. Nossa função de velocidade é . Então, o deslocamento fica:
A integral de é . Aplicando os limites:
Sabemos que e , então:

Passo 4

Agora, para encontrar a distância percorrida, precisamos considerar apenas valores positivos, já que distância nunca é negativa. No nosso caso, é sempre positiva no intervalo de a , então a distância percorrida é igual ao deslocamento. Se a velocidade pudesse ser negativa, teríamos que integrar o valor absoluto de .

Resposta

O deslocamento da partícula é de metro e a distância percorrida também é de metro no intervalo de a segundos.

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