Nos problemas 31-42, resolva a equação diferencial dada sujeita a condição inicial indicada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma equação diferencial dada por:
E uma condição inicial:
Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais, especificamente a equação de Bernoulli, para resolver isso. Precisaremos reorganizar a equação para identificar seus componentes e aplicar a técnica adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para colocá-la em uma forma mais amigável. Vamos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Agora, fatoramos
no lado esquerdo:
Passo 3
Agora, queremos expressar a derivada
. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Podemos separar essa fração em duas partes:
Passo 4
Observamos que essa equação tem a forma de uma equação de Bernoulli, que é:
Comparando com nossa equação:
A equação de Bernoulli pode ser resolvida fazendo uma substituição que transforma a equação não linear em uma equação linear.
Passo 5
Vamos fazer a substituição
. Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Rearranjando para
:
Passo 6
Substituímos
na equação original:
Multiplicamos todos os termos por
para simplificar:
Mas como
, temos:
Passo 7
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Para resolver, encontramos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação por
:
Passo 8
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo para
:
Lembrando que
, então:
Invertendo ambos os lados:
Passo 10
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Substituindo
e
:
Sabemos que
, então:
Passo 11
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A solução da equação diferencial, atendendo à condição inicial, é:
Exercícios relacionados
Uma partícula move-se com uma velocidade de
ao longo de um eixo s. Ache o deslocamento e a distância percorrida pela partícula, durante o intervalo de tempo dado.
a) .
a)
Resolva as integrais abaixo.
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