Nos problemas 31-42, resolva a equação diferencial dada sujeita a condição inicial indicada.
y^3 dx = 2 x^3 dy - 2 x^2 dx, y(1) = raiz(2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma equação diferencial dada por:
E uma condição inicial:
Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais, especificamente a equação de Bernoulli, para resolver isso. Precisaremos reorganizar a equação para identificar seus componentes e aplicar a técnica adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para colocá-la em uma forma mais amigável. Vamos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Agora, fatoramos no lado esquerdo:

Passo 3

Agora, queremos expressar a derivada . Para isso, dividimos ambos os lados por :
Podemos separar essa fração em duas partes:

Passo 4

Observamos que essa equação tem a forma de uma equação de Bernoulli, que é:
Comparando com nossa equação:
A equação de Bernoulli pode ser resolvida fazendo uma substituição que transforma a equação não linear em uma equação linear.

Passo 5

Vamos fazer a substituição . Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Rearranjando para :

Passo 6

Substituímos na equação original:
Multiplicamos todos os termos por para simplificar:
Mas como , temos:

Passo 7

Agora, temos uma equação linear em termos de :
Para resolver, encontramos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação por :

Passo 8

Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para :
Lembrando que , então:
Invertendo ambos os lados:

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Substituindo e :
Sabemos que , então:

Passo 11

Substituindo na expressão de :

Resposta

A solução da equação diferencial, atendendo à condição inicial, é:

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Uma partícula move-se com uma velocidade de v(t) m/s ao longo de um eixo s. Ache o deslocamento e a distância percorrida pela partícula, durante o intervalo de tempo dado.
a) v(t) = sen(t), 0 <= t <= pi/2.
Resolva as integrais abaixo.
38) integral 3 x^8 cos x^3 d x
lim x 0 tg(5 x)x
lim x 0 sen(2020 x)x