Supondo que u times v=(2,-5,-11), determine as coordenadas do vetor (2 u-3 v) times(v+5 u).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá que o produto vetorial de dois vetores, u times v, é igual a (2, -5, -11). A matéria envolvida aqui é Álgebra Vetorial, especificamente operações com produtos vetoriais. Para resolver, vamos precisar usar as propriedades do produto vetorial, como a distributividade e a anticomutatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos encontrar: o vetor (2 u - 3 v) times (v + 5 u). Para simplificar isso, vamos usar a propriedade distributiva do produto vetorial, que funciona de forma semelhante à distributiva da multiplicação em álgebra comum. Ou seja:
(2 u - 3 v) times (v + 5 u) = 2u times v + 2u times 5u - 3v times v - 3v times 5u

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo:
  1. 2u times v: Aqui, multiplicamos o vetor u times v por 2. Sabemos que u times v = (2, -5, -11), então:
    2u times v = 2 times (2, -5, -11) = (4, -10, -22)
  2. 2u times 5u: O produto vetorial de um vetor consigo mesmo é sempre zero, porque o seno do ângulo entre eles é zero:
    2u times 5u = 10 (u times u) = 0
  3. -3v times v: Da mesma forma, o produto vetorial de v consigo mesmo também é zero:
    -3v times v = -3 (v times v) = 0
  4. -3v times 5u: Podemos reescrever isso como -15v times u. Sabemos que v times u = -u times v (propriedade da anticomutatividade):
    -15v times u = -15(-u times v) = 15u times v
    E sabemos que u times v = (2, -5, -11), então:
    15u times v = 15 times (2, -5, -11) = (30, -75, -165)

Passo 4

Agora, vamos somar todos os termos que obtivemos:
(4, -10, -22) + 0 + 0 + (30, -75, -165) = (4 + 30, -10 -75, -22 -165) = (34, -85, -187)

Resposta

As coordenadas do vetor (2 u - 3 v) times (v + 5 u) são (34, -85, -187).

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