Uma partícula se movimenta num plano , tal que a aceleração vem dado por , onde e estão em unidades SI. Se em os vetores de posição e velocidade são dados por e , determinar (a) a equação da trajetoria e (b) a velocidade escalar para .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma partícula que se move no plano com uma aceleração definida por:
Nos é dado que, no instante inicial , a posição da partícula é e a velocidade inicial é . Precisamos encontrar:
(a) A equação da trajetória da partícula.
(b) A velocidade escalar da partícula no instante .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para determinar a velocidade e a posição a partir da aceleração.

Passo 2

Vamos começar encontrando a função velocidade integrando a aceleração em relação ao tempo. A integração da aceleração nos dá a velocidade:
Vamos integrar cada componente da aceleração separadamente.

Passo 3

Integrando a componente da aceleração:
Como , quando :
Portanto, a componente da velocidade é:

Passo 4

Agora, integrando a componente da aceleração:
Usando a condição inicial para a velocidade, que no instante , a componente da velocidade é 0 (já que ):
Portanto, a componente da velocidade é:

Passo 5

Agora que temos as componentes da velocidade, podemos escrever a velocidade total:
Para encontrar a posição , vamos integrar a velocidade em relação ao tempo e usar a condição inicial de posição .

Passo 6

Integrando a componente da velocidade para encontrar a posição:
Usando a condição inicial para a posição, quando :
Portanto, a componente da posição é:

Passo 7

Agora, integrando a componente da velocidade para encontrar a posição:
Usando a condição inicial para a posição, quando :
Portanto, a componente da posição é:

Passo 8

Agora, podemos escrever a posição total da partícula:
Essa é a equação paramétrica da trajetória da partícula.

Passo 9

Para encontrar a equação da trajetória em função de , podemos eliminar o parâmetro . Observamos que , então:
Sabemos que , então:
Substituindo na expressão de :
Essa é a equação da trajetória em termos de e .

Passo 10

Agora, para a parte (b), precisamos encontrar a velocidade escalar no instante . A velocidade escalar é o módulo da velocidade vetorial:
Vamos calcular e nesse instante.

Passo 11

Calculando :
Calculando :

Passo 12

Agora, calculamos a velocidade escalar:

Resposta

(a) A equação da trajetória é .
(b) A velocidade escalar no instante é aproximadamente .

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