Uma partícula se movimenta num plano x y, tal que a aceleração vem dado por a(t)=-4 sen(t) i+3 cos (t) j, onde a, r e t estão em unidades SI. Se em t=0 os vetores de posição e velocidade são dados por r0=3 j m e v0=4 i m / s, determinar (a) a equação da trajetoria e (b) a velocidade escalar para t=pi / 4 s.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma partícula que se move no plano a(t) = -4 sen(t) i + 3 cos(t) j com uma aceleração definida por:
Nos é dado que, no instante inicial , a posição da partícula é e a velocidade inicial é . Precisamos encontrar:
(a) A equação da trajetória da partícula.
(b) A velocidade escalar da partícula no instante .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para determinar a velocidade e a posição a partir da aceleração.

Passo 2

Vamos começar encontrando a função velocidade v(t) = integral a(t) , dt + v0 integrando a aceleração em relação ao tempo. A integração da aceleração nos dá a velocidade:
Vamos integrar cada componente da aceleração separadamente.

Passo 3

Integrando a componente integral -4 sen(t) , dt = 4 cos(t) + Ci da aceleração:
Como 4 cos(0) + Ci = 4 Rightarrow 4(1) + Ci = 4 Rightarrow Ci = 0 , quando vx(t) = 4 cos(t) :
Portanto, a componente da velocidade é:

Passo 4

Agora, integrando a componente integral 3 cos(t) , dt = 3 sen(t) + Cj da aceleração:
Usando a condição inicial para a velocidade, que no instante 3 sen(0) + Cj = 0 Rightarrow 0 + Cj = 0 Rightarrow Cj = 0 , a componente vy(t) = 3 sen(t) da velocidade é 0 (já que ):
Portanto, a componente da velocidade é:

Passo 5

Agora que temos as componentes da velocidade, podemos escrever a velocidade total:
Para encontrar a posição v(t) = 4 cos(t) i + 3 sen(t) j , vamos integrar a velocidade em relação ao tempo e usar a condição inicial de posição .

Passo 6

Integrando a componente integral 4 cos(t) , dt = 4 sen(t) + Di da velocidade para encontrar a posição:
Usando a condição inicial para a posição, quando 4 sen(0) + Di = 0 Rightarrow 0 + Di = 0 Rightarrow Di = 0 :
Portanto, a componente x(t) = 4 sen(t) da posição é:

Passo 7

Agora, integrando a componente integral 3 sen(t) , dt = -3 cos(t) + Dj da velocidade para encontrar a posição:
Usando a condição inicial para a posição, quando -3 cos(0) + Dj = 3 Rightarrow -3(1) + Dj = 3 Rightarrow Dj = 6 :
y(t) = -3 cos(t) + 6
Portanto, a componente da posição é:

Passo 8

Agora, podemos escrever a posição total da partícula:
Essa é a equação paramétrica da trajetória da partícula.

Passo 9

Para encontrar a equação da trajetória sen(t) = x4 em função de cos(t) = raiz1 - (x4)^2 , podemos eliminar o parâmetro y = -3 raiz1 - (x4)^2 + 6 . Observamos que , então:
Sabemos que , então:
Substituindo na expressão de :
Essa é a equação da trajetória em termos de e .

Passo 10

Agora, para a parte (b), precisamos encontrar a velocidade escalar no instante v(t) = |v(t)| = raizvx(t)^2 + vy(t)^2 . A velocidade escalar é o módulo da velocidade vetorial:
Vamos calcular e nesse instante.

Passo 11

Calculando vx(pi4) = 4 cos(pi4) = 4 (raiz22) = 2raiz2 , m/s :
vy(pi4) = 3 sen(pi4) = 3 (raiz22) = 3raiz22 , m/s
Calculando :

Passo 12

Agora, calculamos a velocidade escalar:
v = raiz(2raiz2)^2 + (3raiz22)^2 = raiz8 + 9 times 24 = raiz8 + 184 = raiz8 + 4.5 = raiz12.5 approx 3.54 , m/s

Resposta

(a) A equação da trajetória é .
(b) A velocidade escalar no instante é aproximadamente .

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