Uma partícula se movimenta sob a ação de uma força central do tipo F=r F(r).
c) Mostre que o movimento ocorre num plano que contém o centro da força. A seguir, escreva a equação do movimento para o corpo em coordenadas polares;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula que se move sob a ação de uma força central, representada por F = r F(r). Isso significa que a força sempre aponta para o centro e depende apenas da distância r da partícula ao centro. Nosso objetivo aqui é mostrar que esse movimento acontece num plano que inclui o centro da força e, depois, escrever a equação do movimento usando coordenadas polares. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especialmente das leis de Newton e do movimento em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que o movimento ocorre em um plano. Imagine que a força sempre aponta para o centro, então ela não tem componente perpendicular ao movimento da partícula no plano onde ela já está se movendo. Para formalizar isso, vamos considerar as equações de movimento em coordenadas cartesianas.

Passo 3

A força central tem a forma F = r F(r), onde r é o vetor unitário na direção radial. Em coordenadas cartesianas, podemos escrever F = rr F(r), onde r = (x, y, z).

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton, F = m a, temos:
m d^2 rdt^2 = rr F(r)
Isso nos dá o conjunto de equações diferenciais para as componentes x, y e z.

Passo 5

Agora, para mostrar que o movimento está em um plano, vamos olhar para o momento angular L = r times p, onde p = m v. Derivando o momento angular em relação ao tempo:
dLdt = r times F

Passo 6

Como F é sempre na direção de r, o produto vetorial r times F é zero:
dLdt = 0
Isso significa que o momento angular é constante no tempo, ou seja, L não muda de direção.

Passo 7

Como o momento angular é constante e não muda de direção, o vetor L define um eixo fixo no espaço. Portanto, a partícula se move num plano perpendicular a esse eixo, garantindo que todo o movimento ocorre nesse plano.

Passo 8

Agora que sabemos que o movimento está em um plano, podemos usar coordenadas polares para descrever o movimento. Em coordenadas polares (r, theta), a posição da partícula é dada por:
r = r r
E a velocidade é:
v = drdt r + r dthetadt theta

Passo 9

A aceleração em coordenadas polares é um pouco mais complexa. Ela é dada por:
a = ( d^2 rdt^2 - r ( dthetadt )^2 ) r + ( r d^2 thetadt^2 + 2 drdt dthetadt ) theta

Passo 10

Substituindo a aceleração na segunda lei de Newton F = m a, temos:
rr F(r) = m [ ( d^2 rdt^2 - r ( dthetadt )^2 ) r + ( r d^2 thetadt^2 + 2 drdt dthetadt ) theta ]

Passo 11

Como as direções r e theta são ortogonais, podemos igualar as componentes radiais e angulares separadamente:
Para a componente radial:
F(r)r = m ( d^2 rdt^2 - r ( dthetadt )^2 )
Para a componente angular:
0 = m ( r d^2 thetadt^2 + 2 drdt dthetadt )

Passo 12

A equação angular mostra que:
r d^2 thetadt^2 + 2 drdt dthetadt = 0
Podemos reescrever isso como:
ddt ( r^2 dthetadt ) = 0
Isso implica que r^2 dthetadt é constante, o que é a conservação do momento angular.

Resposta

Portanto, mostramos que o movimento da partícula ocorre num plano que contém o centro da força e a equação do movimento em coordenadas polares é dada por:
F(r)r = m ( d^2 rdt^2 - r ( dthetadt )^2 )
e a conservação do momento angular é expressa por:
r^2 dthetadt = constante

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