Um ventilador gira à razão de 900 rpm. Ao desligá-lo, seu movimento passa a ser uniformemente retardado, até parar após 75 voltas. Qual o tempo decorrido desde o momento em que foi desligado até sua parada completa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um ventilador que está girando a 900 rotações por minuto (rpm). Quando desligamos ele, o movimento começa a desacelerar de forma constante até parar depois de fazer mais 75 voltas. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo, em segundos, leva para o ventilador parar completamente após ser desligado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, como velocidade angular, aceleração angular e as equações do movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter a velocidade angular inicial de rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (rad/s), que é a unidade padrão no Sistema Internacional. Sabemos que:
1 rpm = 2pi rad60 s
Então, para 900 rpm:
omega0 = 900 times 2pi60 = 900 times pi30 = 900 times pi30 = 30pi rad/s

Passo 3

Agora, vamos converter o número de voltas que o ventilador dá durante a desaceleração, que é 75 voltas, para radianos. Sabemos que uma volta completa é 2pi radianos. Portanto:
theta = 75 times 2pi = 150pi rad

Passo 4

Vamos usar a primeira equação do movimento angular:
omega^2 = omega0^2 + 2alphatheta
Onde:
- omega é a velocidade angular final (0 rad/s, porque o ventilador para),
- omega0 é a velocidade angular inicial ( 30pi rad/s),
- alpha é a aceleração angular,
- theta é o deslocamento angular ( 150pi rad).
Substituindo os valores:
0 = (30pi)^2 + 2alpha (150pi)

Passo 5

Resolvendo para alpha:
0 = 900pi^2 + 300pi alpha
300pi alpha = -900pi^2
alpha = -900pi^2300pi = -3pi rad/s^2
O sinal negativo indica que é uma desaceleração.

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda equação do movimento angular para encontrar o tempo t:
omega = omega0 + alpha t
Sabendo que omega = 0:
0 = 30pi + (-3pi) t
-3pi t = -30pi
t = 30pi3pi = 10 s

Resposta

O tempo decorrido desde o momento em que o ventilador foi desligado até sua parada completa é de 10 segundos.

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