Uma partícula em movimento curvilíneo tem a componente horizontal da velocidade e a coordenada de altura definidas, respectivamente, por:
Dado que no instante t=0 s, X=0 m, pede-se: 5.e) Para cada posição do item b, determine as componentes tangencial atan e normal a nor do vetor aceleração
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move em um caminho curvo, e a gente sabe duas coisas sobre o movimento dela:
A componente horizontal da velocidade é .
A coordenada de altura (posição vertical) é .
Também sabemos que no instante , a posição horizontal .
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as componentes tangencial () e normal () da aceleração da partícula em cada posição.
Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de cinemática e decomposição de vetores de aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar todas as componentes de velocidade da partícula. Já temos a componente horizontal Vy(t) = dYdt = ddt (100 , m - 4 , ms^2 , t^2 ) = -8 , ms , t . Agora, precisamos encontrar a componente vertical da velocidade .
Sabemos que é a posição vertical, então a velocidade vertical é a derivada de em relação ao tempo:
Então, a componente vertical da velocidade é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar as componentes de aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Já temos ax(t) = dVxdt = -16 , ms^2 , então a aceleração horizontal é:
ay(t) = dVydt = -8 , ms^2
E para a componente vertical da aceleração, derivamos :
Então, temos e .
Passo 4
Vamos calcular a velocidade instantânea da partícula em qualquer instante v(t) = raizVx(t)^2 + Vy(t)^2 = raiz(50 - 16t)^2 + (-8t)^2 . A velocidade total v(t) = raiz(50 - 16t)^2 + (8t)^2 = raiz2500 - 1600t + 256t^2 + 64t^2 = raiz2500 - 1600t + 320t^2 é dada pela magnitude do vetor velocidade:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a aceleração tangencial atan = dvdt . A aceleração tangencial é a taxa de variação da velocidade com relação ao tempo. Matemáticamente, é a derivada de atan = Vx cdot ax + Vy cdot ayv(t) :
Para calcular isso, precisamos derivar a expressão de (50 - 16t)(-16) = -800 + 256t . Mas isso pode ficar complicado, então vamos usar uma abordagem mais simples envolvendo as componentes da aceleração e da velocidade.
A fórmula para (-8t)(-8) = 64t é:
Total do numerador = -800 + 256t + 64t = -800 + 320t
Substituindo os valores que encontramos:
atan = -800 + 320traiz2500 - 1600t + 320t^2
Calculando o numerador:
Então:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a aceleração normal anor = Vx cdot ay - Vy cdot axv(t) . A aceleração normal está relacionada à mudança na direção da velocidade e é dada por: