Uma partícula em movimento em trajetória retilínea tem a função horária do movimento dada por:
x(t)=50,0+2,00 t+3,00 t^2+0,200 t^3
onde t é o tempo e x é a coordenada espacial, em unidades do Sistema Internacional. Determinar: C) A posição, a velocidade e a aceleração no instante 2,00 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função que descreve a posição de uma partícula em movimento retilíneo:
x(t) = 50,0 + 2,00, t + 3,00, t^2 + 0,200, t^3
O que precisamos fazer aqui é encontrar a posição, a velocidade e a aceleração da partícula no instante de 2,00 segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos permitem encontrar a velocidade e a aceleração a partir da função de posição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a posição no instante x(2,00) = 50,0 + 2,00 times 2,00 + 3,00 times (2,00)^2 + 0,200 times (2,00)^3 . Isso é simples, basta substituir o valor de x(2,00) = 50,0 + 4,00 + 12,00 + 1,60 = 67,60, m na função :
Vamos calcular cada termo:
Agora, somamos todos os termos:
Então, a posição da partícula aos 2 segundos é 67,60 metros.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade no instante v(t) = dxdt . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se x(t) = 50,0 + 2,00, t + 3,00, t^2 + 0,200, t^3 é a posição, então:
v(t) = 0 + 2,00 + 2 times 3,00, t + 3 times 0,200, t^2
Vamos derivar cada termo da função v(t) = 2,00 + 6,00, t + 0,600, t^2 :
v(2,00) = 2,00 + 6,00 times 2,00 + 0,600 times (2,00)^2
A derivada fica:
v(2,00) = 2,00 + 12,00 + 2,40 = 16,40, m/s
Simplificando:
Agora, substituímos :
Calculando cada termo:
Somando:
Portanto, a velocidade da partícula aos 2 segundos é 16,40 metros por segundo.

Passo 4

Por último, vamos determinar a aceleração no instante a(t) = d^2xdt^2 = dvdt . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a segunda derivada da posição:
v(t) = 2,00 + 6,00, t + 0,600, t^2
Já temos a expressão para a(t) = 0 + 6,00 + 2 times 0,600, t :
a(t) = 6,00 + 1,200, t
Vamos derivar cada termo:
a(2,00) = 6,00 + 1,200 times 2,00 = 6,00 + 2,40 = 8,40, m/s^2
Simplificando:
Substituindo :
Então, a aceleração da partícula aos 2 segundos é 8,40 metros por segundo ao quadrado.

Resposta

Aos 2,00 segundos, a partícula está na posição de 67,60 metros, com uma velocidade de 16,40 m/s e uma aceleração de 8,40 m/s².

Exercícios relacionados