Uma partícula em movimento em trajetória retilínea tem a função horária do movimento dada por:
onde
é o tempo e
é a coordenada espacial, em unidades do Sistema Internacional. Determinar:
A posição, a velocidade e a aceleração no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função que descreve a posição de uma partícula em movimento retilíneo:
O que precisamos fazer aqui é encontrar a posição, a velocidade e a aceleração da partícula no instante de 2,00 segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos permitem encontrar a velocidade e a aceleração a partir da função de posição.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a posição no instante
. Isso é simples, basta substituir o valor de
na função
:
Vamos calcular cada termo:
Agora, somamos todos os termos:
Então, a posição da partícula aos 2 segundos é 67,60 metros.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade no instante
. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se
é a posição, então:
Vamos derivar cada termo da função
:
A derivada fica:
Simplificando:
Agora, substituímos
:
Calculando cada termo:
Somando:
Portanto, a velocidade da partícula aos 2 segundos é 16,40 metros por segundo.
Passo 4
Por último, vamos determinar a aceleração no instante
. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a segunda derivada da posição:
Já temos a expressão para
:
Vamos derivar cada termo:
Simplificando:
Substituindo
:
Então, a aceleração da partícula aos 2 segundos é 8,40 metros por segundo ao quadrado.
Resposta
Aos 2,00 segundos, a partícula está na posição de 67,60 metros, com uma velocidade de 16,40 m/s e uma aceleração de 8,40 m/s².