Para uma partícula em movimento unidimensional a aceleração como função do tempo é dada por:
a(t)=0, 3 0 0 t+0 , 1 0 0
Em unidades do Sistema Internacional.
No instante em que se inicia o estudo do movimento a velocidade da partícula tinha módulo de 4,00 m / s, o movimento ocorria no sentido contrário ao do eixo de coordenadas e a partícula encontrava-se na posição de coordenada -100,0 m.
A) Determinar as funções horárias da velocidade e do espaço.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que foi pedido. Temos uma partícula que está se movendo em uma dimensão com uma aceleração que varia no tempo, dada por:
a(t) = 0,300 , t + 0,100 , m/s^2
Nosso objetivo é determinar as funções que descrevem a velocidade v(t) e a posição x(t) da partícula em função do tempo.
Para resolver esse problema, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integração, já que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função da velocidade v(t). Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dvdt
Para encontrar v(t), precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
Então, integramos a(t):
v(t) = integral a(t) , dt = integral (0,300 , t + 0,100) , dt

Passo 3

Vamos realizar a integração termo a termo:
v(t) = 0,300 integral t , dt + 0,100 integral dt
Integrando cada termo:
  • integral t , dt = 12 t^2
  • integral dt = t
Portanto:
v(t) = 0,300 ( 12 t^2 ) + 0,100 , t + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Simplificando a expressão:
v(t) = 0,150 , t^2 + 0,100 , t + C
Para determinar o valor de C, usamos a condição inicial de que no instante t = 0, a velocidade v(0) = -4,00 , m/s.
Substituindo esses valores na equação:
-4,00 = 0,150 times 0^2 + 0,100 times 0 + C Rightarrow C = -4,00 , m/s

Passo 5

Com o valor de C determinado, a função da velocidade fica:
v(t) = 0,150 , t^2 + 0,100 , t - 4,00 , m/s

Passo 6

Agora, vamos determinar a função da posição x(t). Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t) = dxdt
Para encontrar x(t), precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo.
Portanto, integramos v(t):
x(t) = integral v(t) , dt = integral ( 0,150 , t^2 + 0,100 , t - 4,00 ) dt

Passo 7

Vamos realizar a integração termo a termo:
x(t) = 0,150 integral t^2 , dt + 0,100 integral t , dt - 4,00 integral dt
Integrando cada termo:
  • integral t^2 , dt = 13 t^3
  • integral t , dt = 12 t^2
  • integral dt = t
Portanto:
x(t) = 0,150 ( 13 t^3 ) + 0,100 ( 12 t^2 ) - 4,00 , t + D
onde D é a constante de integração.

Passo 8

Simplificando a expressão:
x(t) = 0,050 , t^3 + 0,050 , t^2 - 4,00 , t + D
Para determinar o valor de D, usamos a condição inicial de que no instante t = 0, a posição x(0) = -100,0 , m.
Substituindo esses valores na equação:
-100,0 = 0,050 times 0^3 + 0,050 times 0^2 - 4,00 times 0 + D Rightarrow D = -100,0 , m

Resposta

As funções horárias da velocidade e da posição da partícula são:
v(t) = 0,150 , t^2 + 0,100 , t - 4,00 , m/s
x(t) = 0,050 , t^3 + 0,050 , t^2 - 4,00 , t - 100,0 , m

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