Um sistema de radar detectou a trajetória de uma aeronave em relação à estação de radar como sendo, em unidades do Sistema Internacional
r(t)=(1, 0 0 10^-2 t^3+0, 1 0 0 t^2) imath+(0,50.10^-2 t^3+0 , 2 0 0 t^2) jmath+5 , 0 0 1 0 ^ 3 widehat k
B) Os módulos da velocidade e da aceleração no instante 100,0 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular os módulos da velocidade e da aceleração de uma aeronave no instante de 100,0 segundos, usando a trajetória fornecida pelo radar. Estamos lidando com cinemática vetorial, que estuda o movimento dos objetos através de vetores posição, velocidade e aceleração. Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Encontrar a velocidade derivando a posição em relação ao tempo.
  2. Encontrar a aceleração derivando a velocidade em relação ao tempo.
  3. Calcular os módulos (ou seja, as magnitudes) desses vetores no instante específico de 100,0 s.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função posição r(t) = (1 times 10^-2 t^3 + 0,100 , t^2) imath + (0,50 times 10^-2 t^3 + 0,200 , t^2) jmath + (5,0010^3) k que descreve a trajetória da aeronave:
v(t) = dr(t)dt
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
Para encontrar a velocidade , precisamos derivar em relação ao tempo :
Vamos fazer isso para cada componente.

Passo 3

Agora que temos a velocidade a(t) = dv(t)dt = d^2r(t)dt^2 , vamos encontrar a aceleração derivando em relação ao tempo:
Isso nos dará como a velocidade está mudando ao longo do tempo, ou seja, a aceleração.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
Velocidade vx(t) = ddt(1 times 10^-2 t^3 + 0,100 , t^2) = 3 times 10^-2 t^2 + 0,200 , t :
Para a componente vy(t) = ddt(0,50 times 10^-2 t^3 + 0,200 , t^2) = 1,5 times 10^-2 t^2 + 0,400 , t :
vz(t) = ddt(5,0010^3) = 0 (pois não depende de t)
Para a componente ax(t) = ddt(3 times 10^-2 t^2 + 0,200 , t) = 6 times 10^-2 t + 0,200 :
ay(t) = ddt(1,5 times 10^-2 t^2 + 0,400 , t) = 3,0 times 10^-2 t + 0,400
A componente az(t) = 0 (pois vz(t) é constante) é constante:
ã
Aceleração :
Derivando a velocidade:
Para a componente :
Para a componente :
E para :
é

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores de vx(100) = 3 times 10^-2 times (100)^2 + 0,200 times 100 = 3 times 10^-2 times 10000 + 20 = 300 + 20 = 320 , m/s e vy(100) = 1,5 times 10^-2 times (100)^2 + 0,400 times 100 = 1,5 times 10^-2 times 10000 + 40 = 150 + 40 = 190 , m/s substituindo vz(100) = 0 , m/s nas equações que encontramos.
Velocidade no instante 100,0 s:
Para ax(100) = 6 times 10^-2 times 100 + 0,200 = 6 + 0,200 = 6,200 , m/s^2 :
ay(100) = 3,0 times 10^-2 times 100 + 0,400 = 3 + 0,400 = 3,400 , m/s^2
Para az(100) = 0 , m/s^2 :
Para :
Aceleração no instante 100,0 s:
Para :
Para :
Para :

Resposta

No instante de 100,0 segundos, os módulos da velocidade e da aceleração da aeronave são:
  • Velocidade ( |v(100)| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 = raiz320^2 + 190^2 + 0^2 approx raiz102400 + 36100 approx raiz138500 approx 372,3 , m/s ):
|a(100)| = raizax^2 + ay^2 + az^2 = raiz6,200^2 + 3,400^2 + 0^2 approx raiz38,44 + 11,56 approx raiz50 approx 7,07 , m/s^2
  • Aceleração ( ):
Portanto, a velocidade da aeronave no instante de 100,0 s é aproximadamente 372,3 m/s e a aceleração é aproximadamente 7,07 m/s².

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