Um sistema de radar detectou a trajetória de uma aeronave em relação à estação de radar como sendo, em unidades do Sistema Internacional
B) Os módulos da velocidade e da aceleração no instante 100,0 s.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular os módulos da velocidade e da aceleração de uma aeronave no instante de 100,0 segundos, usando a trajetória fornecida pelo radar. Estamos lidando com cinemática vetorial, que estuda o movimento dos objetos através de vetores posição, velocidade e aceleração. Para resolver isso, vamos precisar:
- Encontrar a velocidade derivando a posição em relação ao tempo.
- Encontrar a aceleração derivando a velocidade em relação ao tempo.
- Calcular os módulos (ou seja, as magnitudes) desses vetores no instante específico de 100,0 s.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função posição
que descreve a trajetória da aeronave:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
Para encontrar a velocidade
, precisamos derivar
em relação ao tempo
:
Vamos fazer isso para cada componente.
Passo 3
Agora que temos a velocidade
, vamos encontrar a aceleração
derivando
em relação ao tempo:
Isso nos dará como a velocidade está mudando ao longo do tempo, ou seja, a aceleração.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas:
Velocidade
:
Para a componente
:
Para a componente
:
A componente
é constante:
Aceleração
:
Derivando a velocidade:
Para a componente
:
Para a componente
:
E para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular os valores de
e
substituindo
nas equações que encontramos.
Velocidade no instante 100,0 s:
Para
:
Para
:
Para
:
Aceleração no instante 100,0 s:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
No instante de 100,0 segundos, os módulos da velocidade e da aceleração da aeronave são:
- Velocidade (
):
- Aceleração (
):
Portanto, a velocidade da aeronave no instante de 100,0 s é aproximadamente 372,3 m/s e a aceleração é aproximadamente 7,07 m/s².