Um sistema de radar detectou a trajetória de uma aeronave em relação à estação de radar como sendo, em unidades do Sistema Internacional
B) Os módulos da velocidade e da aceleração no instante 100,0 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular os módulos da velocidade e da aceleração de uma aeronave no instante de 100,0 segundos, usando a trajetória fornecida pelo radar. Estamos lidando com cinemática vetorial, que estuda o movimento dos objetos através de vetores posição, velocidade e aceleração. Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Encontrar a velocidade derivando a posição em relação ao tempo.
  2. Encontrar a aceleração derivando a velocidade em relação ao tempo.
  3. Calcular os módulos (ou seja, as magnitudes) desses vetores no instante específico de 100,0 s.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função posição que descreve a trajetória da aeronave:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
Para encontrar a velocidade , precisamos derivar em relação ao tempo :
Vamos fazer isso para cada componente.

Passo 3

Agora que temos a velocidade , vamos encontrar a aceleração derivando em relação ao tempo:
Isso nos dará como a velocidade está mudando ao longo do tempo, ou seja, a aceleração.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
Velocidade :
Para a componente :
Para a componente :
A componente é constante:
ã
Aceleração :
Derivando a velocidade:
Para a componente :
Para a componente :
E para :
é

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores de e substituindo nas equações que encontramos.
Velocidade no instante 100,0 s:
Para :
Para :
Para :
Aceleração no instante 100,0 s:
Para :
Para :
Para :

Resposta

No instante de 100,0 segundos, os módulos da velocidade e da aceleração da aeronave são:
  • Velocidade ( ):
  • Aceleração ( ):
Portanto, a velocidade da aeronave no instante de 100,0 s é aproximadamente 372,3 m/s e a aceleração é aproximadamente 7,07 m/s².

Exercícios relacionados

Uma partícula em movimento em trajetória retilínea tem a função horária do movimento dada por:
onde é o tempo e é a coordenada espacial, em unidades do Sistema Internacional. Determinar: A posição, a velocidade e a aceleração no instante .
Um sistema de radar detectou a trajetória de uma aeronave em relação à estação de radar como sendo, em unidades do Sistema Internacional
C) A distância em relação à estação de radar e a direção na qual a aeronave poderia ser avistada no instante .
Para uma partícula em movimento unidimensional a aceleração como função do tempo é dada por:
Em unidades do Sistema Internacional.
No instante em que se inicia o estudo do movimento a velocidade da partícula tinha módulo de , o movimento ocorria no sentido contrário ao do eixo de coordenadas e a partícula encontrava-se na posição de coordenada -100,0 m.
A) Determinar as funções horárias da velocidade e do espaço.
Um sistema de radar detectou a trajetória de uma aeronave em relação à estação de radar como sendo, em unidades do Sistema Internacional
D) A direção do vetor velocidade no instante .