Um sistema de radar detectou a trajetória de uma aeronave em relação à estação de radar como sendo, em unidades do Sistema Internacional
D) A direção do vetor velocidade no instante
.
Passo 1
Beleza! O enunciado nos dá a posição de uma aeronave detectada por um radar em função do tempo, usando o Sistema Internacional de Unidades. Nosso objetivo é encontrar a direção do vetor velocidade dessa aeronave no instante de 100 segundos. Para isso, vamos precisar entender como derivar a posição para obter a velocidade e, em seguida, determinar a direção desse vetor.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da posição
em relação a
. Vamos então derivar cada componente da função posição fornecida.
Passo 3
Vamos considerar a função posição
fornecida:
Agora, vamos derivar cada componente em relação a
para obter a velocidade
.
Para a componente
:
Para a componente
:
Para a componente
:
Portanto, o vetor velocidade é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o vetor velocidade no instante
segundos substituindo
na equação de
.
Para
:
Para
:
Portanto, o vetor velocidade no instante de 100 segundos é:
Passo 5
Para encontrar a direção desse vetor velocidade, precisamos normalizá-lo, ou seja, dividir cada componente pela sua magnitude. A magnitude
é calculada por:
Agora, normalizamos o vetor velocidade:
Resposta
A direção do vetor velocidade no instante de 100 segundos é aproximadamente
.