Um sistema de radar detectou a trajetória de uma aeronave em relação à estação de radar como sendo, em unidades do Sistema Internacional
r(t)=(1, 0 0 10^-2 t^3+0, 1 0 0 t^2) imath+(0,50.10^-2 t^3+0 , 2 0 0 t^2) jmath+5 , 0 0 1 0 ^ 3 widehat k
D) A direção do vetor velocidade no instante 100,0 s.

Passo 1

Beleza! O enunciado nos dá a posição de uma aeronave detectada por um radar em função do tempo, usando o Sistema Internacional de Unidades. Nosso objetivo é encontrar a direção do vetor velocidade dessa aeronave no instante de 100 segundos. Para isso, vamos precisar entender como derivar a posição para obter a velocidade e, em seguida, determinar a direção desse vetor.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da posição r(t) em relação a t. Vamos então derivar cada componente da função posição fornecida.

Passo 3

Vamos considerar a função posição r(t) fornecida:
r(t) = (1 + 0.01, t^3 + 0.100, t^2) imath + (0.0050, t^3 + 0.200, t^2) jmath + (5.00 times 10^-3) k
Agora, vamos derivar cada componente em relação a t para obter a velocidade v(t).
Para a componente imath:
vx(t) = ddt(1 + 0.01, t^3 + 0.100, t^2) = 0.03, t^2 + 0.200, t
Para a componente jmath:
vy(t) = ddt(0.0050, t^3 + 0.200, t^2) = 0.015, t^2 + 0.400, t
Para a componente k:
vz(t) = ddt(5.00 times 10^-3) = 0
Portanto, o vetor velocidade é:
v(t) = (0.03, t^2 + 0.200, t) imath + (0.015, t^2 + 0.400, t) jmath

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor velocidade no instante t = 100 segundos substituindo t = 100 na equação de v(t).
Para imath:
vx(100) = 0.03 times (100)^2 + 0.200 times 100 = 0.03 times 10000 + 20 = 300 + 20 = 320 m/s
Para jmath:
vy(100) = 0.015 times (100)^2 + 0.400 times 100 = 0.015 times 10000 + 40 = 150 + 40 = 190 m/s
Portanto, o vetor velocidade no instante de 100 segundos é:
v(100) = 320, imath + 190, jmath m/s

Passo 5

Para encontrar a direção desse vetor velocidade, precisamos normalizá-lo, ou seja, dividir cada componente pela sua magnitude. A magnitude |v| é calculada por:
|v| = raizvx^2 + vy^2 = raiz320^2 + 190^2 = raiz102400 + 36100 = raiz138500 approx 372,28 m/s
Agora, normalizamos o vetor velocidade:
v = v|v| = (320372,28) imath + (190372,28) jmath approx 0,86, imath + 0,51, jmath

Resposta

A direção do vetor velocidade no instante de 100 segundos é aproximadamente 0,86, imath + 0,51, jmath.

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